SÉANCE DU 5 DÉCEMBRE igo/j. gSg 



tendront vers zéro, vers ± 2\/7ï4/(a;„, z,), on vers ± \,l-'li(!r„, z,); c'est 

 pourquoi, eu désignant par e un facteur numérique qu'on peut déterminer 

 facilement, on aura 



Cette formule est très générale et en la spécialisant elle donne lieu à bien 

 des applications. Si L' est une ligne appartenant au plan parallèle à Er, 

 mené par A, on a 



limy^(^<|/, ^ -<l'-^^dx = o, 



c'est pourquoi la seconde intégrale du second membre disparaît. Si/=o 

 la troisième intégrale aussi s'annule et la formule devient 



(4) sv^K-o,=.)=i-iX[(^':!î-^ï)'^+^^'^!- 



» Si l'on est dans le second cas, on peut réduire la ligne L' à un point, 

 et même alors la seconde intégrale du second membre cle l'équation (3) 

 disparaît. 



M On a supposé que la droite m/n'est située dans le pian 'i,:-, mais on 

 peut, par une translation, transporter les axes coordonnés où l'on veut, 

 de manière que celte condition n'est pas nécessaire. Donc x„ peut être 

 aussi un nombre complexe. 



» La valeur de £ dans la formule (4) dépend de la position du point A,, 

 par rapport au segment MP. Si A^ est extérieur au segment MP, £ = ± 2 dans 

 le premier cas, et £ = dans le second eus. Si A„ est intérieur au segment MP, 

 £ = o dans le premier cas, £ ^ ±: 2 dans le second cas. 



» La formule (4) renferme les intégrales connues de l'équation étudiée. 

 Elle réunit sous une expression unique des résultats qui paraissaient n'avoir 

 pas de rapports directs entre eux et explique bien des faits. Tout résulte 

 delà polydromie de l'intégrale (3). Or celte polydromie ne pouvait jouer 

 son rôle, si l'on n'étendait pas d'abord la méthode aux variables com- 

 plexes. » 



