SÉANCE DU 5 DÉCEMBRE 1904. 9^3 



THÉORIE DES GROUPES. — Sur les groupes d'ordre p'" (p premier, m > 4 ) dont 

 tous les diviseurs d' ordre p'"-- sont abéliens. ^ole de M. Potkox, jM-ésentée 

 par M. Emile Picard. 



« Dans une précédente Noie (') j'ai exposé la détermination dés s,,«Cy 

 dont tous les g^,»-^ sont abéliens et dont, en oulre, le commutant est cyclique. 

 Il n'y a lieu de faire cette restriction que dans le cas où G peut être en- 

 gendré par deux générateurs dont le commutateur n'est pas normal (-). 

 Voici la détermination des types de G à commutant non cyclique : 



» Je pose G = (e,/), f-'ef=ed, e'^ de = db, f-' ef = ed, puis (en 

 remarquant que l'égalité /-' p-' def=f-' dh/ii\\ge c"' g-' ce = Ir' f'' bf) 

 e 'ce = ca, /'"' bf^= ba, et {d n'étant pas normal) je suppose è ^ i. Chacun 

 des g„'"-(CP, e) et (CP,/), ayant tous ses diviseurs abéliens, contient 

 normalement ses commutateurs et lesp'^"** puissances de ses éléments; il 

 fout d'ailleurs (CP, e) ={d, e). On en conclut que b,c sont respectivement 

 permutables à e, /, que a, d'', eP'',/P'' sont normaux, ce qui exige 



a'' = b'' =cP= d''' = I , 



que c est dans (d, e), te qui exige a = 1. Ainsi b et c sont normaux, on a 

 C = {b, c, d), tout élément de G peut s'écrire J'' é'-d^c^h'^ , un g^p^-^ quelconque 



de G est G, . = (CP, f'e?) {y ou = ^ o), A divise CP et — est un g^,' principal 



de figure (i)(i i). Deux cas se présentent alors suivant que G contient ou 

 non hors de CP un élément permutable à tout élément de C. 

 » Dans la première hypothèse, on peut faire c = i . A cause de 



(CP,e) = (r/,e), 



/'' est dans ((/, e), ce qui exige que (/''= i et que/'' soit dans (e'', 6). Il 

 faut/>> 2, sans quoi G aurait le diviseur non abélien (e-. /) d'ordre </j"'~^ 

 Pour que tout g^/— de G soit abélien, il faut et il suffit que tout gy > non 

 abélien, c'est-à-dire ici tout G^;(j' ^ o), ait tous ses diviseurs abéliens. On 

 sait (^) exprimer cette condition et on la trouve équivalente à celle-ci : A est 



(') Comptes rendus, août 1904. J'emploie ici les mêmes notations. 



{-) Dans la Noie citée, l'indicalion explicite de cette restriction a été omise. 



(n PoTRON, Thèse, n" 1.3, p. 24. 



