SÉANCE DU 28 NOVEMBRE 1904. qi5 



des aires a^t des régions retranchées R,, est inférieure à l'aire a du rectangle R, l'en- 

 semble E des points Ç = ? -(- rr,, non retranchés, a pour aire le nombre :< — a. 



» Je désigne par ^ = x + «>■ les points qui ne font pas partie de l'ensemble E et 

 par w — u + iv un point quelconque du rectangle R, sans distinguer s'il appartient ou 

 non à l'ensemble E. 



» Cela posé définissons dans R une fonction continue quelconque 'f(//, r); pour 

 fiver les idées on peut supposer que <p est une fonction réelle et positive. Formons 

 maintenant l'intégrale double 



_L r r [(«-^)-.-(^>-,y)ly 

 étendue au rectangle R; on peut encore l'écrire 





W - 



(R) 



■f/io 



en désignant par (h., l'élément iValre et par «• l'affixe du centre de gravité de r/co. 

 » De cette intégrale retranchons successivement les intégrales 





étendues aux régions R/,. 

 » Posons maintenant 



^ » F(s) est la fonction analytique cherchée. On peut voir en effet, en 

 s'appuyant sur les propriétés bien connues du potentiel, que F (s) est une 

 fonction continue clans tout le plan. Ses points singuliers font partie de 

 l'ensemble E. La fonction F(s) est continue aussi en ces points. 



» Remarquons en terminant que l'on peut définir plus simplement la 

 fonction F(:;) en faisant usage de la définition générale de l'intégrale, 

 donnée par M. Lebesgue. 



» Désignons par 'h une fonction égale à ç pour tout point K de l'en- 

 semble E et égale à zéro pour tout autre point. On aura 



>' La condition imposée à l'ensemble E d'avoir une aire non nulle est 

 évidemment essentielle : autrement la fonction F(z) serait identiquement 

 nulle. » 



