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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les singularités de l'équation 



y ^ A„ + A, j + h.,y- + \^y\ 

 Noie de M. Pieure Boutroux, présentée par M. Emile Picard. 



« L'étude des équations différentielles au voisinage de singularités trans- 

 cendantes ordinaires, en particulier l'étude de l'équation 



(i) x-^^^ =lu -|-^/,„.r-f-... 



au voisinage de ce = u = o, n'est, aujourd'hui encore, pas terminée. Récem- 

 ment M. Dulac, après M. Bendixson, a considéré le cas où 1 est un nombre 

 réel négatif, et il a montré que, contrairement à une opinion assez répandue, 

 il peut exister une infinité d'intégrales tendant vers o lorsque a? tend vers 

 l'origine sur des chemins convenablement choisis. Malheureusement, la 

 méthode de M. Dulac ne permet pas de décider dans la pratique si celte 

 circonstance se présente ou non pour une équation donnée. Quelle est, 

 d'autre part, la distribution des points critiques au voisinage du point 

 transcendant? Comment se condensent les déterminations d'une intégrale 

 pour une valeur de x voisine de o? Autant de questions non résolues. 



» Le nombre et la diversité des circonstances possibles semblent imposer 

 une division du problème. C'est pourquoi il me sera permis d'énoncer les 

 résultats auxquels m'a conduit l'étude de l'équation 



(2) 3y'= A„ + A, r+ A,r- + A.,,v' 



au voisinage d'un o simple de A,, où Ao, A,, A, sont supposés holo- 

 morphes. 



» L'équation (2) jouit de deux propriétés qui n'appartiennent qu'à elle : 

 1° il n'y a qu'une intégrale admettant pour point critique un point quel- 

 conque donné; 2° autour de chaque point crilique (algébrique) se per- 

 mutent deux déterminations seulement. Des jjoints critiques transcentlanls 

 se présentent pour A, =: o, y := 00. 



I) Faisons 



A3 = x(c/. + a, a: +...), A. = p + [ï, a? +. . ., 



et soient n\ et ir^ les o de — 211'- + {iw + a. 



