SÉANCE DU 2:5 JUILLET 1904. 2,Sg 



» Nous poserons 



z = -, a = "^ — iv'- v= —^ — w':, 



y a- ' x-" - 



et nous obtiendrons les deux équations 



f 3 ) xu' ^'k.ii -\- a.x +.. ., >. = — 2 -I — — , 

 (/|) a.-(^' ^L.Ç' + 6,.X' -+-. ... X,^— 2H —, 



^ ' 2(V., 



qui donnent toutes les intégrales -( = - ) nulles à l'origine. 

 » Entre X, et\, il existe la relation invariante 



X,-1-2 X„+2 



» Sur cette relation se fonde la discussion suivante : 



)) 1. X, et >2 complexes, R(X,)>> o, par suite R(X2) <C <'• — t)n sait qu'en 

 ce cas l'équation (3) donne pour z une infinité d'intégrales (dont une, 

 3i(£r). est holomorphe) passant par l'origine avec une tangente commune 

 et dépendant d'un paramètre arbitraire. Je constate que, lorsque le para- 

 mètre augmente indéfiniment, cet ensemble d'intégrales admet pour limite 

 l'intégrale holomorphe nulle à l'origine de Véquation (4), soit ^^(cc). J'ob- 

 tiens en outre ce rcsnllat : toutes les branches d'' intégrales z qui se permutent 

 au voisinage de l'origine peuvent être obtenues par des permutations Auiour 

 de l'origine elle-même. L'ensemi)le des délerminalions de l'intégrale z(^x') 

 qui peuvent se permuter au voisinage de l'origine admettent comme points 

 limites uniques, pour x=^x, les deux points discrets z^x) et z„{x). 



» 2. 1, et \., complexes, R(>.| ) <C o, R(X:;) <C o- — On a encore deux in- 

 tégrales holomorphes ]iassant par l'origine et deux seulement, z^(x) et 

 z.,(^x^, qui sont limites des branches de l'intégrale générale. 



» 3. X, et Xj réels irrationnels , \^ ^ o, par suite l.,<^ o. — Le théorème 

 d'après lequel, au voisinage de x = o, toutes les branches d'une même in- 

 tégrale s'obtiennent par des permutations autour de l'origine, subsiste dans 

 ce cas. Les points critiques et les déterminations de l'intégrale z(^x) conver- 

 gent, dans leurs plans respectifs, vers tous les points d'une courbe fermée 

 entourant l'origine et vers ces points seulement. Il résullc <lo là (pie l'équa- 



