26o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



lion (4) n'admet, en dehors de l'intégrale holomorphe, aucune intégrale 

 tendant vers o lorsque x tend vers o sur un chemin quelconque. 

 Mais elle a des intégrales présentant une infinité de points critiques au voi- 

 sinage de l'origine. 



» 4. \^ et 1^ réels irrationnels, >.,< o, >.„-<o. — La distribution des points 

 critiques et des déterminations de z{x) est la même que dans le cas précé- 

 dent. 



» 5. X, et >.j réels rationnels, X,< o, 7.o<o. — Soit ^, une valeur initiale 

 voisine de o. Je démontre que si l'on tourne autour d'un nombre Jini, assez 

 grand, de points critiques, on revient avec des valeurs s'éloignant peu à 

 à peu de o. Il en résulte que l'intégrale générale n'a qu'un nombre fini de 

 points critiques au voisinage de l'origine, qui est pour elle un point d'holo- 

 morphisme. Elle est représentable pour j^ et :; voisins de o par une relation 

 de la forme F(.r, z)= C, où F est un développement convergent, C une 

 constante arbitraire. Deux intégrales seulement sont nulles à l'origine. 



» 6. >., et 1., réels rationnels, >.,> o, par suite !.,< o. — Ce cas se subdi- 

 vise en trois : 



» 1° >., est entier et l'équation (3) a une infinité d'intégrales holomorphes 

 passant par l'origine (ce qui exige comme on sait qu'une certaine relation 

 algébrique entre les coefficients de l'équation soit satisfiiite) ('). L'origine 

 est encore un point d' holomorphisme pour toutes les intégrales. Les intégrales 

 nulles à l'origine de (3) ont pour limite l'intégrale nulle de (4); 



» 1° 1, n'est pas entier. Ce cas se ramène au précédent par un change- 

 ment de variable x = x'p (p entier) ; 



» 3° X, est entier et la relation algébrique mentionnée plus haut nest pas 

 satisfaite. On sait que l'équation (3) possède alors une infinité d'intégrales 

 nulles développables suivant les puissances de x et de iog.r. Dès lors, 

 l'équation {[^), pour laquelle \ est réel, négatif et rationnel, a une infinité 

 d'intégrales tendant vers o lorsque x tend vers o sur certains chemins. 

 Nous retrouvons ainsi les circonstances qu'a signalées M. Dulac. Mais, au 

 lieu que dans la théorie de M. Dulac ces circonstances semblaient se pré- 

 senter d'une façon tout à fait générale pour )>. rationnel, elles nous appa- 

 raissent ici [du moins en ce qui concerne l'équation (2)] comme exception- 

 nelles et dues à la nature de l'équation (3). » 



(') On sait toujours reconnaîtie très simplenieiU si cette comliliun est sali--faite. 

 Ce cas a été étudié en particulier par M. Autonne. 



