SÉANCE DU l"' AOIT 1904. 35 1 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les zéros des j onctions entières d'ordre entier. 

 Note de M. Pierke Boutroux, prcsenlée par M. H. Poincaré. 



« MM. G. -H. Hardy et à A. Wiman ( ') ont récemment indiqué, indé- 

 pendamment l'un de l'autre, une très remarquable généralisation du théo- 

 rème de M. Picard sur les fonctions entières. M. Hardy s'est placé dans 

 des cas particuliers, dont il a fait une étude approfondie. M. Wiman a con- 

 sidéré des types généraux de fonctions, et il a tiémontré le théorème 

 suivant : 



» Soient G ( s) une fonction entière d'ordre entier, g{ z ) une fonction d'ordre 

 inférieur. Je supposerai, pour fixer les idées, que l'ordre de G(;) soit égal 

 à son genre p. Admettons que le module maximum de G(v) soit comparable à 



g-''(log,)?....(logW,)P-._ ]\IC^\ 



Alors, si l'ordre du zéro de rang n, a„, de G{ z) est supérieur à 



[n{ lognr'^'. ..{ logi''i'rtJ" !■'',]''= u.{n ), 



l'ordre du zéro de rang n, a]^, de G(z) -\- g(z ) est nécessairement égala [j.. 



» Les fonctions de M. Wiman sont formées sur le môme type que celles 

 que j'ai considérées au paragraphe 31 (première Partie) de mon Mémoire 

 Sur quelques propriétés des fonctions entières (dans le cas particulier où le 

 genre est nul, l'ordre étant égala 1). Effectivement, des valeurs appro- 

 chées que j'ai calculées pour ces fonctions dans les di\erses régions du 

 plan, on peut aisément déduire qu'elles satisfont au théorème de M. Wiman. 

 Mais il y avait, entre les résultats de M. Wiman et les miens, une contra- 

 diction a|)parente dont je me suis proposé de rechercher la raison. 



)» J'ai établi, en effet., qiie si | a,', | est de l'ordre de ;x(/z) le module maxi- 

 mum de la fonction entière correspondante, soit G(z) -h g(^-), doit être, 

 régulièrement, comparable à M(r)logr. Pour qu'il n'en soit pas ainsi il 

 faut que les zéros f/ , du moins ceux qui déterminent l'ordre de | a,'J 



(') Les recheiclies de iVI. Hardy, datées du i4janviei' 1904, viennent de paraître dans 

 les Proceedings of tlie Loiulun Malheinalical Society, sei'. 2, \ol. Il, pari I. Celles 

 de M. Wiman se li'ouvenl dans VAi/ui' /or Mdllicinalily, Aslronuiiii ocli Fysik, \\)o!\. 

 Band 1. 



