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(c'est-à-dire : à l'exclusion peut-être d'un ensemble partiel de zéros négli- 

 geable par rapport à l'ensemble total), soient distribués de telle sorte que 



la série ^ — — soit semi-convergente et ait pour somme zéro. Cette dis- 

 tribution ayant l'air d'être exceptionnelle, j'étais tenté de conclure que, des 

 deux fonctions, souvent comparées l'une à l'autre, sin ^ et -; — . -^r^ — est 



la fonction régulière, au lieu que MM. Hardy et Wiman arrivent à une 

 conclusion opposée. Pour lever la contradiction on est obligé d'admettre 

 le théorème suivant : 



» Quel que soit g(^) [d'ordre inférieur à G(; )] la distribution des zéros 

 de G(z) ■+- g(z), à l'exclusion peut-être d'un ensemble négligeable de zéros, 



est telle ejue la série V — —, étendue à ces zéros ail pour soinnie zéro. 



» Une démonstration directe de ce théorème semble difficile. Elle a été 



obtenue par M. Hardy pour la fonction particulière——- 



» Mais nous nous heurtons ici à un paradoxe. Soit par exemple/^ = i. 

 Donnons-nous un ensemble arbitraire de zéros a, d'ordre a(/z)log« (ces 

 zéros n'étant pas approximativement égaux et de signes contraires). 

 Formons le produit de facteurs primaires correspondants G,(=). Quels que 

 soientG,(z) et g{^), les zéros de G fz) -f- g(z)seront approximativement égaux 

 et de signes contraires. Ainsi, la distribution des zéros de G, est arbitraire, 

 et celle des zéros de G, + g obéit à une loi invariable. Ce paradoxe s'expli- 

 quera si l'on songe que les propriétés du produit infini G, ne dépendent 

 pas uniquement de ses zéros. Un facteur primaire se compose d'un facteur 

 simple et d'une partie exponentielle. Or, dans les cas ordinaires, l'influence 

 du facteur simple est prépondérante; dans les cas considérés ici cest au 

 contraire l'influence de la partie exponentielle qui V emporte ( ' ). Il s'ensuit que 

 l'étude des fonctions telles que G ou G, est un problème un peu factice. 

 On croit étudier les propriétés des fonctions entières, et l'on étudie, en 

 réalité, celles des exponentielles. 



» De là vient également qu'on peut obtenir des renseignements très 



(') On pourrait objecter que l'influence des parties e\ponentielles des facteurs pri- 

 maires peut être neutralisée par l'adjonction d'un facteur e" -', H étant un polynôme. 

 Mais cela, précisément, n'est pas le cas pour les fonctions de M. ^^'iman. Un module 

 maximum égal à j\I(/') ne peut appartenir en eflét à une fonction e"'-', mais seulement 

 à un produit de facteurs primaires. 



