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M. le Ministre de l'Instruction publique transmet à l'Académie la dé- 

 pêche suivante, adressée jDar M. Janssen : 



« Vésuve repris activité. Nous étudions Téruption et rapporterons gaz du cratère et 

 roches. Nous sommes assistés de M. Matteucci que nous remercions. » 



MÉCANIQUE ANALYTIQUE. — Sur le théorème des aires el les systèmes 

 conservatifs . Note de M. Paul Paixlevé. 



« 1. On sait qu'un système matériel est dit conservalif quand les forces 

 intérieures dérivent d'un potentiel U, parfaitement déterminé par la configu- 

 ration du système, c'est-à-dire par les valeurs /y^j des distances mutuelles 

 des points . . . My, . . ., M^, ... du système, associés deux à deux. Quand la 

 configuration d'un système conservatif est la même à deux instants ?„, 'i. 

 le travail des forces intérieures dans l'intervalle de temps t^ — /, est nul. 



» Ceci rappelé, soit S un système conservalif dont chaque élément reste 

 identique à soi-même, en sorte que Xétat du système à un instant / est 

 complètement défini par la position et la vitesse de chaque élément. Ce 

 système S étant abandonné sans vitesse dans le vide au-dessus du sol, est-il pos- 

 sible qu'il reprenne à un instant t sa configuration initiale, orientée diffé- 

 remment dans l'espace? 



» C'est là une question qui a déjà été discutée devant l'Académie, il y a 

 quelques années (^Problème du chat qui retombe sur ses pattes). Quand on 

 n'assujettit pas le système S à être conservatif, la réponse est affirmative et 

 a été appuyée de nombreux exemples. On peut même former des exemples 

 où les forces dérivent d'un potentiel U (r,o, . .., r^/^. . .) non uniforme ('). 



(') Considérons par exemple le système formé par les deux brandies d'un compas 

 OA, OB, légèrement décalées l'une par rapport à l'autre, de façon à pouvoir pivoter 

 complètement autour de leur axe commun de rotation OO'. Supposons que leur centre 



de gravité coïncide avec O, et soit 6 l'angle AOB compris en valeur absolue entre zéro 

 et Tt, et compté positivement de gauche à droite autour de la demi-droite 00'. Sup- 

 posons que les deux branches n'exercent aucune force l'une sur l'autre quand est 

 nul ou égal à ± tt, que leurs éléments s'attirent suivant une certaine fonction de la 

 distance pour 6 <; o, qu'ils se repoussent suivanL la même loi pour > o. Les forces 

 intérieures dérivent alors d'un potentiel U(0), bien déterminé et continu quand 8 varie 

 de — Tt à -t- t:, mais la différence U(tt) — U( — tt) est une certaine quantité positive /; ; 

 le potentiel U n'est pas une fonction uni/orme de la configuration. Abandonnons le 

 système sans vitesse, dans le vide, l'angle AOB étant positif, très petit et ayant comme 



