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1821. 

 Idémolie sur V Intégration des équations linéaires aux différences 



partielles, à coefficients constants et avec un dernier terme 



variable^ par M. Augustin Cauchy. 



Dans ce Mémoire je me propose deux objets fiislincts, savoir: MATo^MârtouEs. 



1° de présenter l'intégrale générale des équations linéaires aux 



difFérenfcs partielles et à coefficients constants, avec un dernier terme Académie Royal* 

 variable, sous la forme la plus directement applicable à la solution des Sciences. 

 de certains problèmes, 2° de montrer les difierentes sortes de réduc- 8 octobre i8ai» 

 lions que peut admettre dans des cas particuliers l'intégrale dont il 

 s'agit. Je vais d'abord m'occuper ici de la première de ces deux 

 questions, en me bornant, pour abréger, au cas où le terme variable 

 de l'équalioD aux différences partielles se réduit à zéro. 



On sait depuis long-temps intégrer par des sommes d'exponeiilielles 

 composées d'un nombre fini ou infini (le termes, les équations linéaires 

 aux différences partielles et à coefficients constants^ et M. Poisson a 

 fait voir, dans le Bulletin de la Société Philomalique , de 1817, que les 

 expressions auxquelles on arrive de cette manière, sont précisément les 

 intégrales générales de ces équations. Mais on reconnaît bientôt que les 

 expressions dont il s'agit présentent l'inconvénient de ne pouvoir se prêter 

 immédiatement à la détermination des fonctions arbitraires. Pour faire 

 disparaître cet obstacle, on a employé deux moyens différents. Le pre- 

 mier consiste à développer les intégrales en séries, ou à les représenter 

 à l'aide d'expressions symboliques déduites de l'analogie entre les puis- 

 sances et les différences, et à convertir ensuite ces séries ou ces symboles 

 en intégrales définies. (^oj<rz le Mémoire de M. Poisson, publié en 181 g, 

 et deux Mémoires de M. Brisson , l'un inséré dans le Journal de l'Ecole 

 Polytechnique, l'autre manuscrit.) Le second consiste à introduire dans 

 les sommes d'exponentielles dont nous avons parlé ci-dessus les fonc- 

 tions arbitraires qui doivent y rester. On peut, d'ailleurs, obtenir ce 

 dernier résultat, soit dans certains cas particuliers, à l'aide de formules 

 uniquement applicables à ces mêmes cas, soit en général, en supposant 

 les exposants imaginaires, et faisant usage des théorèmes que renfer- 

 ment les Mémoires de M. Fourier, sur la chaleur; de M. Poisson et de 

 moi, sur la théorie des ondes. On peut consulter à ce sujet, i" les Mémoi- 

 res des deux auteurs que je viens de citer; 2° la note onzième de mon 

 Mémoire sur les ondes, qui indique précisément la manière de résoudre 

 ces sortes de problèmes. Toutefois on abrège la méthode de solution 

 que j'expose, et celle qui se trouve dans le Mémoire de M. Poisson, 

 en apportimt une légère modification à la formule fondamentale. Celle 

 formule, étendue à un nombre n de variables .r, j, ^. . . , peut s'é- 

 erire ainsi : 



