particuliers, fondée sur l'invariabililt! de tous ces éléments, n'est donc 

 qu'une approximation qui sera sulfisante dans le cas des températures 

 ordinaires, mais qui pourrait induire grandement eu erreur, lorsque les 

 leiTipéralures viennent à passer certaines limites. 



Telle est l'analyse succincte de la partie physique de la question qui 

 fait l'objet de nos deux jMémoires. I.a résululion des équations difiéren- 

 lielles dans les difl'érents cas qu'il est possible de traiter, relativement 

 à la forme du corps et à la distribution primitive de la chaleur entre tous 

 ses j)oin(s , n'offre plus que des problèmes de pure analyse pour lesquels 

 on peut suivre deux méthodes différentes qu'il est bon de comparer 

 entre elles. 



L'une de ces méthodes est celle que j'ai suivie dans le premier Mé- 

 moire : elle consiste à partir directement de l'intégrale complète sous 

 forme finie, de l'équation aux différences partielles relative à chaque 

 problème particulier. La fonction arbitraire que contient cette intégrale, 

 représente immédialemeni, du moins dans tous les exemples du premier 

 Mémoire, la loi des températures des pointsdu corps que l'on considère j 

 dans d'autres questions plus compli(|uées, elle est implicitement liée à 

 cette loi; de manière qu'elle est censée déterminée dans tous les cas, 

 mais seulement pour toute l'éleudue du corps dont il s'agit; et elle 

 reste au cotilraire indéterminée pour toutes les valeurs des variables 

 correspondantes à des points qui tombent hors de cette étendue. Cette 

 division d'une fonction arbitraire eu plusieurs portions, qui forment 

 comme autant de fondions différentes, et dont une seule est donnée 

 par les conditions initiales de la question , se retrouve dans les solutions 

 de la pluj)art des problèmes de physique ou de mécanique, dépendants 

 des équations aux différences partielles; et le problème drs cordes 

 vibrantes en offre le plus simple et le plus ancien exemple. L'indéter- 

 mination d'une partie de la fonction arbitraire est ce qui permet, dans 

 ces différents problèmes, de satisfaire aux équations qui se rapportent 

 aux extrémités du corps; et, dans la question qui nous occupe actuel- 

 lement, on parvient au moyen de ces équations, par une singulière ana- 

 lyse , sinon à déterminer, du moins à éliminer en entier la partie in- 

 connue de celle fonction, de sorte qu'il ne reste que des quantités 

 données, dans l'expression des températures de tous les poinis du corps 

 à un insianl (|uelconque. De plus, celle expression se trouve alors 

 tra isformée en une série infinie d'exponentiefles, dont les exposants 

 ont le temps pour facteur, et sont esseiiliellement réels et négatiis, et 

 dont les coefficicnls ne dépendent pas de cette vaiiable. Apr s uu 

 temps plus ou moins considérable, celle série se réduit sensiblement 

 à un seul terme, à celui qui contient l'exponentielle affectée du moin- 

 dre exposant; d'où il résulte que le temps continuant à croître par in- 

 tervalles égaux, les températures de tous les poiats du corps décroisseat 



