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 RAPPORTS. 



ANALYSE MATHÉMATIQUK. — Rapport Sur un Mémoire de M. Bouquet, 

 relatif à la théorie des intégrales ultra-elliptiques. 



(Commissaires : MM. Bertrand, Hermile, Serret rapporteur.) 



« Le Mémoire de M. Bouquet dont l'Académie nous a chargés de lui 

 rendre compte se rapporte au célèbre théorème d'Abel sur les transcen- 

 dantes ultra-elliptiques, et il a exclusivement pour objet la démonstration 

 d'un théorème nouveau qui peut être regardé comme un complément de 

 celui d'Abel, au moins en ce qui concerne le cas le plus simple des trans- 

 cendantes de première espèce d'une classe quelconque. Ce cas est le seul 

 que l'auteur ait développé, mais l'analyse dont il a fait usage est assurément 

 susceptible d'extension. 



» Dans le cas dont il s'agit, le théorème d'Abel assigne une valeur con- 

 stante à une certaine somme d'intégrales du même élément différentiel^ 

 prises avec des signes convenables; on peut supposer que les limites infé- 

 rieures de ces intégrales soient zéro et les limites supérieures sont des 

 variables liées entre elles par des équations algébriques. 



» C'est l'étude de la constante du théorème d'Abel que M. Bouquet a 

 entreprise, et cet habile géomètre est parvenu à démontrer qu'on en obtient 

 la valeur en ajoutant entre eux un certain nombre d'éléments fixes, après les 

 avoir multipliés par des nombres entiers, qui peuvent'étrc positifs, nuls ou 

 négatifs. Les éléments dont je parle sont des intégrales définies qui 

 répondent au même élément différentiel que celles à limite supérieure 

 variable auxquelles se rapporte le ihéorème d'Abel; elles sont prises, 

 comme celles-ci, à partir de zéro, et leurs liniiles supérieures sont les valeurs 

 de la variable pour lesquelles l'élément différentiel devient infini. 



» La démonstration que M. Bouquet a donnée de son théorème est remar- 

 quable |iar sa simplicité. Prenant pour point de départ des résultais impor- 

 tants dus à ses devanciers et particulièrement à M. Puiseux, l'auteur a su 

 mettre habilement à profit la considération, reconnue aujourd'hui indis- 

 pensable, de rinlégralion exécutée suivant des contours quelconques. 



» I>e résultat obtenu |)ar AT. liîoiiqupt remplit un desideratum signalé à 

 plusieurs reprises par Legendre. L'illustre fondateur de la théorie des 

 fonctions elliptiques a développé dans le tome III de son ouvrage (3""" sup- 

 plément) un grand nombre d'applications du théorème d'Abel, et il s'est 



