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» Tel est le raisonnement que j'avais donné (t. LXX, p. i33i-i332). 

 S'il est inexact, pourquoi M. Catalan ne signalc-t-i! pas le point précis où 

 j'ai commis une erreur? 



» On peut d'ailleurs le remplacer par le suivant, tout aussi rigoureux, 

 qui m'est comnuuiiqué par un iMembre de l'Acailéniio : 



» Soit une équation différentielle 



» Prenons la dérivée de cette équation par rapport kj"' 



-r— , = O. 



Si entre cette équation et la précédente on élimine y' , on admet qu'on 

 aura, en général, la solution singulière. Il résulte de là qu'en déduisant des 

 deux équations les valeurs de j" et de j ', la valeur obtenue pourj' devrait 

 être la dérivée de la valeur obtenue pour 7-, résultat évidemment absurde, 

 lîuisque la composition en x de l'équation différentielle est tout à fait arbi- 

 traire, et qu'on pourra, dans les formules, remplacer im coefficient con- 

 stant par une fonction quelconque de x, sans rien changer à la suite des 

 opérations (il n'y a pas de dérivée prise par rapport à x). 



« Il est donc établi qu'en général, la courbe R = o n'est pas l'enveloi^pe 

 des courbes du système. Il pourra d'ailleurs, cela est évident, se présenter 

 les trois cas suivants : 



» i" L'équation de condition (3) est satisfaite pour tous les points de 

 la courbe R = o : alors cette courbe peut être et est en général l'en- 

 veloppe ; 



» 2° L'équation de condition (3) n'est pas satisfaite pour les points de 

 la courbe R = o : c'est là le cas général, et alors la courbe R = o est, en 

 (jénéral, le lieu des points de rebroussement ou, si l'on veut, des points 

 singuliers des courbes représentant les intégrales particulières; 



» 3" La courbe R = o peut se décomposer en deux parties, l'une pour 

 laquelle l'équation de condition est satisfaite, et qui est l'enveloppe, l'autre 

 pour laquelle cette équation fie condition n'est pas satisfaite, et qui est, en 

 général, un lieu de points singuliers. 



» Il ne faudrait pas qu'on se méprît sur la jiortée des propositions pré- 

 cédentes. Elles pourront se trouver en défaut. Il y ;i à faire une discus- 

 sion de la nature de celles qui se présentent dans la tliéorie des points 

 siiigulin's. Quaiifl on a étudié le point doub!''. on doit passer nu point 



