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 triple, puis au point quadruple, etc. Les exemples fournis p;ir M. Catalan 

 ne sont donc pas de natnre à faciliter la discussion. Tout le monde com- 

 prend que lorsqu'on dit d'une proposition qu'elle est vraie en qénérnl, on 

 indique par cela même qu'il y a une infinité de cas dans lesquels elle ne 

 trouve pas son application. Eu outre, il faut, dans la théorie qui nous oc- 

 cupe, distinguer avec le plus (jrand soin le cas où l'équation nest jias inléqrée 

 et n'est pas susceptible d'inléciration de celui oit l'on a rintc(/rale qénérnle. 



» Si l'on ad met, eu effet, qu'étant doiuiéeune équation différentielloqnel- 

 conquc, celle équation a une intégrale générale de la forme ©(x, ^^ C)=:o, 

 où la fonction (o est finie, continue et hien déterminée, dans une étendue 

 suffisante du plan, et pour toutes les v;ileiu's de C comprises entre certnines 

 limites, il n'y a plus de difficulté, et dès que l'équation précédente fournit 

 pour C plusieurs valeurs quand on se donner? et ^", il y a luu^ solution 

 particulière qui est l'enveloppe des courbes du système. ^lais rien ne prouve 

 qu'étant donnée ime équation différentielle, elle ait en général une inté- 

 grale de la forme indiquée. Admettre celte |iroposition, c'est faire une 

 hypothèse justifiée sans doute dans la |)Iupart des cas ou l'on sait intégrer, 

 mais qui est loin d'être démontrée dans le cas le plus étenrlu, celui où l'on 

 ne sait pas trouver l'intégrale générale. 



» Quant à la remarque de M. Catalan sur les centres de coiu'bure de 

 l'ellipsoïde, elle est fondée. Je suis très-heureux de reconnaître : i° que les 

 formules en question n'étaient pas d'une recherche bien difficile; 2" qu'elles 

 sont dans les Mélanges de M. Catalan. Je leur avais donné place dans ma 

 Communication, siutout pour mettre en évidence les huit coniques singu- 

 lières de la surface. 



« Je profiterai de l'occasion pour compléter un point de ma Communi- 

 cation du 20 juin dernier. Étant dotuii''!' l'équation 



a(I)" + »£ + '^ = °. 



il a été établi plus haut que la courbe dont l'équation est 



B--/4AC = o 



n'est pas en général l'enveloppe des courbes du système; mais je n'.ivais 

 pas démontré que, dans ce cas, elle est en général le lieu des peints sin- 

 guliers de ces courbes. La démonstration rigoureuse de celle proposilion 

 se déduit Irès-facdement des beaux résidlats obtenus par AiM. Biiot et 



c. K., 1870, 7' S'-men-e. (T. LXXI, N" 4.) 35 



