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 données rectangulaires, et dans le sens du mouvement, l'axe même du 

 tuyau ; pour axe des j, une horizontale; pour axe des z, une droite, dirigée 

 en bas, dont a désignera l'inclinaison sur la verticale, et nous admettrons, 

 pour abréger, que la pression soit la même à l'entrée et à la sortie du tuyau. 

 Les vitesses moyennes seront réduites à leurs composantes m, et chaque 

 surface d'égale vitesse se composera, dans le premier cas, des deux plans 

 z^ = const., ou d'un cylindre de rayon /■ décrit autour de l'axe des x; dans 

 le second, de la partie de ces surfaces qui est au-dessous du plan des xy. 

 Appelons F l'action taiigentielle moyenne, évidemment parallèle aux x, 

 qui est exercée sur l'unité de cette surface, p la densité du liquide. L'égalité 

 des frottements à la composante suivant les x Au poids du liquide compris 

 dans une surface d'égale vitesse, ou entre une de ces surfaces et la surface 

 libre, donnera 



(i) soit F + pg'z.sina = o, soit 2F 4- pgrsina = o. 



F dépend : i" de la vitesse Uf, du liquide voisin de la paroi, car cette vitesse 

 est un élément essentiel dans la production des tourbillons auxquels sont 

 dus les frottements considérés : la force F s'annulant presque lorsque ii^ 

 s'annule, la manière la plus simple dont elle puisse en dépendre, c'est de 

 lui être proportionnelle; 2° des mouvements oscillatoires perpendicidaires 

 à la paroi dont sont animées les particules liquides qui s'en trouvent voi- 

 sines : en effet, ces mouvements constituent l'autre élément varia!)le qui 

 concourt à la formation des tourbillons; comme ils sont favorisés par la 

 grandeur de la section et gênés au contraire par les parois, le plus simple 

 est de supposer F en raison directe de la section et inverse du contour 



mouillé, c'est-à-dire proportionnel au rayon moyen h ou-; 3° des varia- 

 tions que subit, à partir des parois, en allant vers l'intérieur, l'agitation 

 due aux mouvements tourbillonnaires, car les consitiérations précédentes 

 ne la définissent qu'aux points voisins des parois; il est nature! de supposer 

 cette agitation, et par suite F, constante si les surfaces sur lesquelles elle se 

 propage à partir des parois, et qui sont parallèles à celles-ci, ont toutes la 

 même aire, et variables en raison inverse de cette aire si elles ne sont pas 

 toutes égales; dans le cas du tuyau rectangulaire de base indéfinie, elle 

 sera partout la même, tandis que, dans celui du tuyau circulaire, elle vau- 

 dra, à la distance r de l'axe, sa valeur à la paroi multipliée par le rapport 

 de R à r; s'il y a une surface libre, nous admettrons qu'on puisse négliger 

 dans une première étude les phénomènes spéciaux (par exemple une cer- 



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