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 » Ail moyen de ces valeurs, on obtient aisément celle de la troisième 

 fonction que je reproduis ici 



(8) = h„-^ht + ^^^{'), 



ce qui achève la solution du problème. 



» An reste, dit Lagrange, comme cette solution est fondée sur l'hypo- 



)) thèse que J, M et— soient de très-petites quantités, il faudra, pour qu'elle 



» soit légitime : i" que les constantes a, a' et h soient aussi très-petites; 

 M 2° que les racines p et o' soient réelles et inéijales, afin que l'angle t soit tou- 

 » jours sous le skjne des sinus. Or cette seconde condition exige ces deux-ci : 



' l(/+g)' + 4(yg-«'), 



» lesquelles dépendent uniquement de la figure du corps et de la situation 

 » du point de suspension ("). » 



» C'est sur la seconde des conditions ici énoncées que je me permets 

 d'appeler l'attention de l'Académie. Je dis qu'il n'est pas nécessaire que 

 cette condition soit remplie, pour que les pelites oscillations se maintien- 

 nent. S'il est, en effet, nécessaire que l'équation caractéristique ne |)ré- 

 sente pas de racines égales, quand il s'agit d'une seule équation linéaire, il 

 arrive au contraire que, dans certains cas, les racines de l'équation carac- 

 téristique cVun système d'équations linéaires peuvent être égales, sans que 

 la variable indépendante sorte des signes trigonométriques ou exponentiels. 

 Tel est le cas qui se présente dans le problème actuel. 



» f>a dernière inégalité que nous venons de rappeler peut s'écrire 



{i) (/-gr + 4«^>o, 



et elle sera satisfaite tant que l'une des deux quantités [J — g) et a sera 

 différente de zéro. Le cas de l'égalité des racines p et p' se présentera lors- 

 que ces quantités (/ — g) et a seront simidtanément nulles: on tire en 



(* ) Je mets ici /(» au lieu de / qui se trouve dans la Mécanique analytique. 



(**) Voici un cas très-simple, auquel correspondent des racines égales de l'équation ca- 

 ractéristique : c'est celui d'un corps solide, homogène et de révolution, oscillant autour 

 d'un point pris sur son axe de figure. Chacun comprendra, sans recourir au calcul, que la 

 petitesse des oscillations est assurée dans ce cas, si le centre de gravité est, à l'origine du 

 mouvement, au-dessous du centre de suspension, à une petite distance de la verticale pas- 

 sant par ce point, et si le mouvement oscillatoire initial est suffisamment faible. 



