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 donne dans notre représentation, en y ajoutant les équations 



p, = o, p2 = o, 



une correspondance muluelle entre deux espaces E, et Ej de telle manière 

 qu'aux points de l'un correspondent dans l'autre les droites d^un complexe; cette 

 correspondance a d'ailleurs conservé les caractères essentiels de la corrélation. 



» Eh effet, si une droite [appartenant à un desjdeux complexes tourne 

 autour d'un de ses points, le point correspondant se meut sur la droite de 

 l'autre complexe qui correspond au point fixe. 



» De là on conclut premièrement que les courbes enveloppées par des 

 lignes des deux complexes se correspondent une à une. Les points de cha- 

 cune des courbes correspondantes correspondent aux langentes de l'autre. 



» En second lieu, soit une congruence appartenant à un des deux com- 

 plexes et sa surface focale F,. Aux droites de cette congruence correspon- 

 dent les points d'une surface Fj; aux points de la surface F, correspondent 

 les droites d'une congruence dont F^ est l'une des surfaces focales. 



» Par une particularisation convenable des constantes de la corrélation, 

 les complexes qui se correspondent de la manière que nous venons d'ex- 

 poser deviendront les deux complexes indiqués d'abord. J'ajouterai que 

 M. Noefher (i) a considéré une correspondance entre les droites d'un com- 

 plexe linéaire et les points de l'espace, d'où on pourra tirer assez facilement 

 la correspondance mutuelle entre les deux complexes dont il s'agit ici. 



» 2. Regardons maintenant dans l'espace E, un complexe linéaire C, et 

 dans E2 le complexe C^ dont toutes les lignes coupent le cercle imaginaire 

 à l'infini et établissons entre ces deux complexes la relation indiquée. 



» Aux points d'une droite L, située en E, correspondent en E2 les lignes 

 d'une des générations d'une surface du second degré S2 passant par le cercle 

 imaginaire à l'infini, c'est-à-dire d'une sphère. Cette sphère se réduit à un 

 point si la droite L, appartient au complexe C,. Aux lignes de l'autre géné- 

 ration correspondent dans le cas général en E, les points d'une droite L', 

 qui est la conjuguée polaire de L, par rapport au complexe C,. 



» A deux droites L, et ^, qui se coupent correspondent en E^ deux 

 sphères qui se touchent. Inversement, à deux sphères qui se touchent cor- 

 respondent en E, deux couples de droites (L,, L',) et (4,, jp',) dont chacune 

 coupe une droite de l'autre couple. 



(i) Goellinger Nachhchten : « Zur Théorie der algebraischen Functionein,..., etc, 

 1869. P'oir ixiisii : Rete, Géométrie c/cr Lage, Zwdte Abtheilung, p. i?.7; 1868. 



