( 582 ). 



M Si la droite 4^, se meut de manière à engendrer un complexe linéaire, 

 les sphères correspondantes couperont ime sphère fixe sous un angle con- 

 stant, angle droit si les deux complexes C, et C, sout en involulion (i). 



» En général, notre méthode transforme une combinaison quelconque 

 de droites en une combinaison de sphères, et donne ainsi ime liaison intime 

 entre des théorèmes en apparence complètement différents. 



» 3. Soit donnée, dans l'espace Eo, une surface F,. A cette surface cor- 

 respond, dans l'espace E,, une congruence, a3iant une surface focale F,. 

 A chaque ligne de courbure de la surface Fo correspondra alors en E, une sur- 

 face réglée- qui louche F, le long d une courbe as/mptolique, qui est sa propre 

 polaire réciproque, par rapport au complexe C, . 



» En me bornant ici à énoncer ce théorème, je vais en donner quelques 

 applications. 



» M. Darboux a démontré que la courbe de contact d'une surface quel- 

 conque avec la développable, circonscrite à cette surface et au cercle 

 imaginaire à l'infini, est une ligne de courbure de la surface; on connaîtra 

 donc sur la surface focale d'une congruence générale, appartenant à un 

 complexe linéaire, une courbe asymptotique. Les tangentes de la surface 

 dans les points de cette courbe appartiennent au complexe linéaire. 



» Il est évident que l'on peut déterminer une ligne asymptotique, jouis- 

 sant de la même propriété, sur chaque surface réglée, appartenant à un 

 complexe linéaire. Mais, d'après les recherches de MM. Bonnet (2) et 

 Clebsch (3), on connaît toutes les lignes asymptotiques d'une surface ré- 

 glée, si l'on en connaît une. Jinsi on pourra trouver les lignes asymptotiques 

 d'une surface réglée, appartenant à un complexe linéaire; d'autre part, on 

 obtiendra par notre méthode de transformation le théorème suivant : 

 On peut déterminer par des quadratures les lignes de courbure de chaque 

 surface, enveloppée par de sphères qui coupent une sphère fixe sous un angle 

 constant. 



n Enfiii. on peut trouver par notre théorème les lignes asymptotiques de 

 la surface du quatrième ordre et de la quatrième classe de M. Kunmier, et de 

 leurs parlicularisations : la surface des ondes, les surfaces-complexes de 

 Plûcker, etc. En effet, la surface de Kummer est la surface focale de la con- 



(i) Klein, « Zur Théorie der Complexe crsten und zweilen Grades •, Math. A/mahn^ 

 t. II. 



(2) Journal, de l'École Potyleclifiiqiic, rallier 43, et Comptes rendus. 



(3) Jou-nal de CrelleEoichaidt, t. LXVIII. 



