70 Hans Petersen : 



Wirdrelicn zuiuiclisl das PidliliMii iiiii (Fig. 141). Der imtorlirnrhenc Strirlisei wieder 

 der riilierende Kreis, der diesmal iiiil diT Hotationsaehse in iMiier Ebene liegt. Der volle 

 Sehiiitt ergibt dann eine Lemniskate. Diese Lemniskate ist verschieden je naeh der 

 Größe des Winkels a, den wir den Diiierenzwinkel nennen wollen. 



Eine Querschnittsserie ergibt eine Serie Lemniskaten, jede Ouerschnitisserie die- 

 selbe Lenmiskatenserie. In einer scdciien Serie sind von der Tangentenfläche bis zum 

 Normalschnitt alle Differenzwinkei verwirkTh hl. Die diinji Variation des Winkels er- 

 hältliche Lenmiskatenserie ist ein Viertel der ganzen (^)uers( hnittsseriei). Für einen 

 Differenzwinkel sind in demselben Ring also alle Lemniskaten gleich. Daraus ergibt sich, 

 daß wenn ich eine Lemniskate um eine ihrer einen Symmetrieachse parallelen, aber 

 nicht in ihrer Ebene liegende Achse rotieren lasse, so, daß der Abstand dieser beiden 



a 

 Geraden a, dividiert dni'cli den Abstand ihres Scheitels h von dei' Symmetrieachse -- 



gleich dem sin ihres Differenzwinkels ist, der Xormalsriniitt der entstehenden Rotations- 

 fignr ein Kreis ist. Die Figur 141 ergibt unmittelbar eine Einsicht in diese Verhältnisse. 

 Die Umkehrung dieser F>etrachtungen fidn-t uns zur Liisung des Ausgangsproblems. 



Eine analoge Betrachtung soll zur Gewinnung gewisser Begriffe eingeschaltet 

 werden. Verschiebe ich einen Kreis mit dem Radius r normal zu seiner Ebene, so ergibt 

 sich ein Kreiszylinder (Fig. 142). Ein Schnitt normal zur Mantellinie — gestrichelt — 

 ergibt einen Kreis, schief zur Mantellinie - voll - eine Ellipse. Beide Schnitte bilden 



2r 

 den Winkel a. Dann ist der kleine Durchmesser der Ellipse 2b = 2r, der große 2a = . 



Verschiebe ich div Ellipsi^ mit den Durchmessern 2a und 21) in einer Richtung, die den 

 Winkel a mit ihrer Ebenennormale bildet, so erhalte ich dann einen Kreiszylinder, 



wenn cos a = ist. Der Durchmesser des Normalschnittkreises ist =2b, dem kleinen 

 a 



Durchmesser der Ellipse (Fig. 143). 



Ich verschiebe jetzt die Ellipse mit den Durchmessern 2a und 2b senkrecht zn 

 ihrer Ebene (Fig. 144). In der Zeiihnung gebe der Schnitt den kleinen Durchmesser an, 

 die rote Linie. Schneide ich nun normal zur Zeichenebene, aber schief zu den .Mantel- 

 linien, so erhalte ich dann einen Kreis, wenn ich den NN'inkel zur Normalehene so wähle, 



daß cosa = — ist. Der Durchmesser des so entstehenden Kreises ist = 2a, dem großen 



a 

 Durchmesser der Ellipse. Verschiebe ich min den Kreis mit di'ui l)urchniess(>r 2r schief 

 zu seiner Ebene, so, daß die Verschiebungsri(ditung mit der Normalen auf seiner Ebene 

 den Winkel a bildet, so ergibt sich ein elliptischer Zylinder mit dem Normalschnitt, 

 2a=2r und 2b = 2r cosa (Fig. 145). 



') In jeder vollslaiiiii<,'eii Lemniskateiisrrii' kmiiiiit jede Lenini.skate zweimal vur, einmal dies- 

 seits, eiiiiiKil jenseits des Xnrmalschiiitte.s der Serie, in jeder Hälfte ist wieder die eine Hälfte dnrch 

 X'arialinii des 1 iirferen7.winl<i'ls, dessen SelieiM am iiiiuMvn. <lie andere Ihdfle diiirli \arialinn des 

 I )iri'i'ren/.wiiil;els, dessen Selieitel am aul.lereii I inl'anK lieyt, erlialllicli. 



