52 Hans Petersen: 



clx'ne uiul sphärische Bowcgliihkcit eng ziisaiiiiiii'agi'hurrn, ilarhcnliarte Beweglichkeit 

 in Flächen von kdnstantcin Krünimiiiigsmaß. 



Aus (lieser 7,wangläufigen Ivuilicl cntwickchi wir' uns i'incn N'critand, den wir 

 Raiunkiirbel nennen wollen. Wir ersetzen die Scharniere durch Kugelgelenke (Fig.itS). 

 Bewegungsglied ist wieder li. A und (] sind die lii'iden Gelenkniitlelpunkte der beweg- 

 lichen Kugelgelenke. B ist ein beliebigei' nii hl anl der Geraden AC liegender Punkt, 

 des Bewegungsgliedes, x ein Punkt dieser Geraden. Es liegt derselbe Verband wie der 

 geschlossene 2F2P-Bandverband vor. A und C haben Veikehrsflächen, alle übrigen 

 Punkte, auch die der Geraden y\C sind raunihaft beweglich, haben Veikelu'sräume. Die 



S 

 Beweglichkeitsiurniel ist also r — - — -i ^ . 



Die Beweglichkeit hat vier Mannigfaltigkeitsgrade. N'im di'ii 6 freien Kmii'dinaten 

 für die 3 Eckpunkte fallen durch 2 Gleichungen zwischen ihnen 2 weg. Die Gleichun- 

 gen sind, wenn der 0-Punkt des Koordinatensystems ü (Fig. 98) ist 



für A (Xi-d)- + y2+zf = a2 (I) 



für C xl + yl + zl = c2 (2) 



Diese beiden Gleieiiungen sind weiter nichts als der analytische Ausdruck (h'i- Beweg- 

 lichkeitsbedingung des Verbandes: A und C haben kugelige Verkehrsflächen, die im lit 

 denselben Mittelpunkt haben. Fnsere Formeln sagen also soviel aus, wie die Mannig- 

 faltigkeitsangabe + den Bedingnngsgleichungen des Verbandes. 



Ebensoviel Mannigfaltigkeitsgr'ade hat das Glied des Verbandes, der aus einer 

 Ebene und einem Zylinder besteht, der diese Ebene mit einer Mantellinie berührt. Hier 



s" 



gilt die Formel ^r— ^ „ . Es besteht eine geschlossene Gerade, deren sämtliche Pmikte 



2, 2, ._< 



Verkehrsflächen haben. Airs dieser Haurnkur'bel mit \ Mannigfaltigkeitsgraden wir'd 

 ein Verband mit 3 Geraden, wenn ich für' C. eine Verkehrslinie einführe (Fig. !•!•). 

 Das kann geschehen, durch einen Bügel, in dem der Arm c gefiriu't wird, durch eine 

 Geradführung. Dann hat C eine Verkehrslinie, A eine Verkehrsfläche, alle Punkte der 

 Geraden AC ebenfalls Verkehrsflächen. Das letztere leitet sich einfach so ab, daß der 

 geometrische Ort für jeden dieser Prmkte für C ein Kr-eis ist, frir' (? abei' eine Fläche. 

 Die Formel heißt also 1, 2, 



, o. 



Die 3 .Männigfaltigkeitsgrade ergeben sich durch 3 Gleichimgen. Die Gleicinmg 

 (1) des vorigen Alisatzes für' A und 2 Gleichimgen für C. Der Vei'jiand ist alter raumhaft 

 beweglich, hat nicht nirr in Stützflächen sich bewegende Punkte, während ein 

 0,2,2-Verband flächenhaft beweglieh ist. 



Wir werden ein Einteilimgspi'inzip der Verbände nachher zu geben versuchen, 

 das die eben erläuterten Unterschiede hervorhebt. Damit fällt natürlich der' Begriff des 

 Mannigfaltigkeitsgrades nicht fort, oiier wird gar als falsch bezeichnet, sondern er wird 

 ergänzt imd aiisgeliaut, ausgebaul fiir- die Zweike iler' Kinematik nicht zwangläufiger, 

 freier Verbände. 



