Bänderkinematik. 51 



Gehen wir von A aus, so gilt lür B die Gleirhnng {x^- x^)^ + {y^-Ji)^ + (z^- z^)'^ = c-, 

 für C die beiden Gleichungen (Xg-Xj)'^ + (Vg- yi)^ + (Zg-Zi)^ = b^ und (X3-X2)2 + 

 + (Yg-yja + (Z3-Z2)2 = a^. Macht wieder 6 freie Kdordinaten und 3 Gleichungen = 

 9 Angaben, 3 allgemein geltende, 6 variable Angaben für jede Lage der drei Punkte. 

 Die \Mrkuiig des Verbandes besteht darin, weitere Gleichungen, die die Zahl der un- 

 abhängig variablen Koordinaten verringern, zu liefern. 



Unser Verfahren, die Beweglichkeit dei' Verbände zu charakterisieren, war nun 

 kein analytisches, sondern ein synthetisches oder geometrisch-konstruktives. Die geo- 

 metrische Darstellung dies(M' (rleichungen als geometrischer Orter für Punkte war 

 unser allgemeines Verfahren, oder vielmehr wir gelangten gar nicht erst zum analy- 

 tischen Ausdruck, sondern hielten uns von vornherein an das anschauliche, das 

 geometrisch-konstruktive. Das hat zweierlei Vorteile. Einmal den, unmittelbar zuni 

 Begriff der Stützung, dem Fundamentalbegriff für die Konstruktion von Verbänden 

 in Beziehung zu treten. Aus den geometrischen Örtern ergibt sich, wie wir das im folgen- 

 den sehen werden, leicht die Konstruktion des Verbandes. Der zweite Vorteil ist der, 

 ausführlicher zu sein, als die Angabe des Mannigfaltigkeitsgrades. 



Ein Beispiel soll das zeigen. Ein Körper ist mit drei Mannigfaltigkeitsgraden gegen 

 einen anderen beweglich bedeutet, daß 3 bekannte Koordinaten alle übrigen (3) be- 

 stimmen. Ein Verband, in dem diese Beweglichkeit veiwirklicht ist, ist das Kugelgelenk. 

 Ein Punkt des Bewegungsglicdes liegt fest, A", alle übrigen bewegen sich auf Kugelflächen 

 B^, G^. Der Verband erlaubt dem Bewegungsglied, unter der Voraussetzung des S(-hlus- 

 ses, eine flächenhafte Beweglichkeit, jeder Punkt läuft in einer Stützfläche. Es gibt 

 aber auch Verbände mit raumhaft beweglichen Punkten, die 3 Mannigfaltigkeitsgrade 

 haben, z.B. der Verband mit der Beweghchkeit 1,2,3. Zu einem sidchen Verband 

 gelangen wir auf folgende Weise : Fig. 93 zeigt ein Viereck mit den Seiten a,b,c,d. Dieses 

 Viereck ist deformierbar, ohne daß die Seitenlängen sich ändern. Die Seiten können 

 nun auch zu Flächen eines Körpers werden, ohne daß eine entsprechende Deformier- 

 barkeit verloren geht. Und zwar müssen die Kanten dieses Vierecks sich in einem 

 Punkte schneiden, entweder in endlicher oder uiicudlicher Entfernung. In Fig. 94 ist 

 ein Parallelepipedon gezeichnet aus den Seiten a,b,c,d. Die Kantenwinkel können 

 sich beliebig ändern, ohne daß die Seiten deformiert weiden. Die Gerade AB bleibt 

 z.B. auf der Seite a vollständig unverändert. Dasselbe gilt flu' die vierseitige Ecke 

 Fig. 95. Auch hier können sich die Kantenwinkel verändern, ohne daß die Seiten de- 

 formiert werden, z.B. in Fig. 95 die Gerade AB in der Seite c. Die Fig. 93 kann als 

 ein beliebig liegender Schnitt durch eine Ecke oder ein Parallelepipedon aufgefaßt werden. 



Das führt zur zwangläufigen viergliedrigen Kurbelkette. 4 starre Elemente 

 kiinnim durch 4 Scharniere (Zylinderumschlußpaare) zu einer solchen Kette vereinigt 

 werden, unter der Voraussetzung, daß die Achsen der Umschlußpaare sich in einem 

 Punkte schneiden bezw. parallel sind (Schnittpunkt im l'nendlichen). Fig. 90 und 97 

 zeigen solche Kurliein, d ist die Unterlage, das Glied, auf das die Kette gestellt ist; d ist 

 das Bezugs-, b das Bewegimgsglied. Die Punkti)almen von b relativ zu d sind bei Fig. 9H 

 ebene und bei Fig. 97 sphärische Kurven, ebene uiul sphärische zwangläufige viergliedrige 

 Kurbelkette. Die Beweglichkeitsformel ist für das Glied b 0,1,1; wobei für die ebene 

 Kette der O-Piinkt in unendlicher Entfernung liegt (0^11). Diese Ableitung zeigt, daß 



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