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faltigkeitsgrad der Bewoglichkoit ist alsn ein analytischcf Begiill. Ks erwächst die Auf- 

 gabe, ihn geometrisch zu (h'uten. 



Ein isdherter Punl<t ist durch 3 Koordinaten in seiner Lage bestimmt; die drei 

 sind nnabiiangig voneinander; seine Beweglichkeit hat also .:! Mannigfaltigkeitsgrade. 

 Ein starres Punktsystem ist durch die Lage dreier seiner Punkte bestimmt. Es sind also 

 9 Koordinaten vorhanden^). Diese sind aber nicht unabhängig, sondern sie sind durch 

 Beziehungen verbunden, die wir l)ei Kapitel IV geometrisch untersucht haben. Durch 

 Lageangaben in bezug auf einen Punkt sind gewisse geometrische Orter für die anderen 

 gegeben. Diese Beziehungen lassen sich auch durch Gleichungen ausdrücken, und zwar 

 so, daß in dcru System von Crlcichungcn H unabhängige Koordinaten, die für den Körper 

 gelten, übrig bleiben. Ein starrer Körper hat also 6 Freiheitsgrade. Diese Beziehungen 

 haben wir die Bedingung der Starrheit des Punktsystems genannt. Für nicht starre 

 Punktsysteme gelten sie nicht, hier gelten dann andere Beziehungen, wenn die Defor- 

 mierbarkeit des Punktsystems erfaßt werden soll. Von diesen Betrachtungen aus 

 kommen wir nun unmittelbar zu unseren Verkehrsflächen und Linien, den geometri- 

 schen Örtern. 



Betrachten wir wieder einen isolierten Punkt, so werden 3 Mannigfaltigkeitsgi'adc 

 der Beweglichkeit duicli '■'< iniabhängige Koordinaten dargestellt. Für 2 Grade gelten 

 wohl 3 Koordinaten, aber diese 3 sind durch eine Gleichung von der Form x = f(y, z) 

 verknüpft. Wir haben also \vieder 3 Bestimmungsstücke für jede Lage, i Gleichung und 

 jedesmal zw'ei Festsetzungen für die unabhängigen Koordinaten. Diese Gleichung ist der 

 analytische Ausdruck einer Fläche, die nichts anderes ist, als unsere frühere Verkehrs- 

 fläche des Punktes. Der Punkt ist flächenhaft beweglich und zwar — imd das ist das 

 wichtigste — auf der Fläche x = f{y, z). ('reiten für die 3 Koordinaten des Punktes 2 Glei- 

 chungen von der Form x=fi(y,z) und x = r2(y, z), so hieiht eine freie Koordinate übrig. 

 Die beiden Gleichungen stellen zusammen eine Linie dar (Schnittkurve zweier Flächen). 

 Diese Linie ist die Verkehrslinie des Punktes, er ist linear beweglich. 



Wir haben in den vorherigen Kapiteln bestimmte Voraussetzungen angeführt, 

 wenn wir die Beweglichkeit von Verbänden untersuchten. Diese Voraussetzungen be- 

 zogen sich auf die Art des Schlusses, dieser oder jener Punkt des Bewegungsgliedes sollte 

 in bestimmte Flächen eintreten. Analytisch ausgedruckt heißt das, es sollen für die 

 Koordinaten der Pimkte bestimmte Gleichungen gelten. Diese Gleichungen kann man 

 die Wirkungsgleichungen der Verbände nennen, zu (jenen die beiden Glieder vereinigt 

 sind. 



In ebensolche Gleichungen lassen sich die Bedingungen des starren Punktsystems 

 fassen, was in den folgenden Absätzen angedeutet werden soll. 



ABC sei wieder das das Bewegungsghed darstellende Dreieck, a die A, li die B, 

 c die G gegenüberliegende Seite. 



Dann haben die 3 Punkte 9 Koordinaten für die 3 Gleichungen i)estehen. A habe 

 die Koordinaten x^ usw., B Xg, G Xj usw. 



^1 Vgl. zu diesem IIei.mholz, Reden und \'orlrage Bd. 2. 1. 



