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 par suite, v esl une fonction de a -+- (3, et le ds^ (5) est de 

 la forme 



rfs*=F(a-+- p)doLdS. 



On reconnaît là un ds^ de révolution. La surface S est 

 donc applicable sur une surface de révolution. 



Démontrons maintenant que, réciproquement, il existe 

 toujours une surface 2 admettant un élément linéaire de 

 révolution donné. Soit 



ds'' = FU-^3)dadp (7) 



cet élément linéaire. L'identification des formules (5) et 

 (7) donne 



-V"'=F(«-t-p), 

 d'où 



« -+- s ^ 2f{\"). 



Rapprochons cette égalité de la relation (6), nous 

 aurons 



/V"-— âV'V" 

 — dv^m^"); 



ou, en effectuant la quadrature indiquée, 



V' = i;V" — V"/(V"). 



Telle est l'équation à laquelle satisfait la fonction V. 

 Si l'on pose V = V,, elle devient 



V. = uv; - v;/-(v;). ..... (8) 



L'intégrale générale de cette équation de Clairaut ne 



