( ^ ) 



Les conséquences de ce résultai ont été développées 

 pour l'équalion 



x-^yi") -t- L,r"-V-" -♦-•••-+- L,._,^' — y = 0, (III) 

 (m = 0), qui correspond à Ij fonction hypergéomélrique 



F(PlP2-P„-i3c)- 



Les recherches actuelles forment une suite importante 

 du premier mémoire de l'auteur; elles s'y rattachent de 

 plus par la méthode d'investigation. 



M. Beaupain établit d'abord la réduction de l'équa- 

 tion (I) à l'équation 



(IN 



Uu 



(IV) 



sous certaines conditions, les solutions de ([) peuvent 

 s'écrire : 



y _y^\(»-.»-o (-:)'•-"-', -,^V(/. . 



(V) 



Pour m = 0, n > 2, la détermination de la constante p. 

 résulte de l'examen de cas particuliers. En faisant usage 

 de la relation (V), l'auteur a été conduit à exprimer les 

 solutions principales de l'équation (II!) par de nouvelles 

 intégrales (n — 1) uples relatives au champ des variables 

 complexes. La fonction à intégrer est la même pour les 

 n — 1 solutions multiformes; elle se modifie quelque peu 

 pour la solution uniforme (on suppose du reste que les 

 quantités p„ p, — p* ne sont pas entières ou nulles). La 

 démonstration des résultats est basée sur l'étude d'inlé- 



