8 SUR UN PROBLÈME CURIEUX 



Toiles sont donc, dans le cas général, les expressions des petites forces 

 qui peuvent être considérées comme sollicitant, après chacun des déplace- 

 ments, le centre de gravité de Taiguille. Je dis dans le cas général, parce 

 (|ue, pour certaines dispositions du système des centres magnétiques et 

 certaines valeurs du poids de Faiguille, il peut arriver que les coeftîcients 

 respectifs de dx, ili/ et (h dans les expressions ci-dessus soient tous les 

 trois nuls, et alors les forces dont il s'agit ne sont plus représentées par ces 

 expressions, mais par les différentielles d'un ordre supérieur. Nous exami- 

 nerons plus loin cette circonstance tout exceptionnelle, qui peut être regardée 

 comme Fanalogue d'un point singulier dans une surface courbe. 



Si l'équilibre du centre de gravité est stable, il faut que chacune des trois 

 petites forces soit dirigée en sens contraire du déplacement correspondant, 

 puisqu'elle doit tendre à faire rebrousser chemin au centre de gravité; or cela 

 exige évidemment que, dans les expressions [2], les coefficients de dx, dy 

 etdz soient tous les trois négatifs; voyons donc si cette parité de signe est 

 possible. 



Ajoutons les trois coefficients en (luestion; à cause de l'identité de forme 

 de tous les termes qui composent chacune des sommes partielles comprises 

 sous le signe 2, cette sommation est facile : il suffit, on le voit sans peine, 

 d'ajouter les termes respectivement écrits en regard du premier signe 1 dans 

 les trois expressions, d'en faire de même pour les termes écrits en regard du 

 second, et de faire précéder d'un 2 chacun des deux résultats. Or, en effec- 

 tuant l'opération, on trouve que ces résultats sont tous deux égaux à zéro, 

 et qu'ainsi la somme totale de nos trois coefficients est toujours nulle ; il est 

 donc absolument impossible que ces coefficients soient négatifs tous les trois, 

 d'où il suit que, dans le cas général où nous nous sommes placés, l'équilibre 

 du centre de gravité, et, par suite, celui de l'aiguille entière, ne saurait être 

 stable dans tous les sens à la fois. 



Abordons maintenant le cas particulier signalé plus haut, c'est-à-dire 

 celui où, pour la position d'équilibre de l'aiguille, les coefficients sont tous 

 les trois égaux à zéro. Je dis tous les trois, car, en vertu du principe auquel 

 nous venons d'arriver relativement à leur somme, deux d'entre eux ne 

 peuvent être nuls sans (|ue le troisième le soit également, et si un seul était 



