DE MAGNETISME. 9 



nul, la somme des deux autres devrait l'être en même temps, de sorte que 

 l'un de ces derniers serait nécessairement positif, et qu'ainsi l'équilibre serait 

 encore instable. 



Si, pour essayer de résoudre la diffîcullé, on cherche les différentielles 

 du second ordre , on tombe sur des expressions dans les(|uelles on ne peut 

 introduire la condition de nullité des coefficients du premier ordre ; nous sui- 

 vrons donc une autre voie; elle sera un peu longue, parce que nous devrons 

 appliquer notre méthode à une suite de cas partiels ; mais nous arriverons 

 au but, dans chacun d'eux, par des raisonnements simples et en nous ap- 

 puyant sur un même principe. 



D'abord, pour nous faire une idée de ce qui peut se passer lorsqu'il y a 

 à la fois équilibre et annulation des trois coefficients, prenons un exemple 

 déterminé qui offre ces conditions et soit assez simple pour qu'on puisse y 

 faire usage des différentielles d'ordres supérieurs. Bornons-nous à considérer 

 l'un des pôles de l'aiguille, et réduisons le système magnétique à quatre 

 centres seulement, de même magnétisme, d'égale intensité, et situés aux 

 quatre sommets d'un carré horizontal; plaçons l'origine des coordonnées au 

 point milieu de celui-ci, et supposons le pôle de l'aiguille verticalement au- 

 dessous ou au-dessus de ce point, suivant que les actions magnétiques sont 

 attractives ou répulsives; laissons d'ailleurs le carré orienté d'une manière 

 quelconque dans son plan par rapport aux axes des x et des «/. Dans ces 

 conditions, les expressions [1] relatives à un seul pôle se simplifient; en 

 effet, les coordonnées verticales z' , z", z'" et z'" sont nulles, ainsi que les 

 coordonnées horizontales x et y dn pôle de l'aiguille, de sorte qu'il vient, 

 en écrivant d'ailleurs m au lieu de m', puisque les quatre magnétismes sont 

 identiques, 



m (2x"-' — y'-^ — z2) , m (2î/'2 — x'2 ^ z'^) , m (Ss^ — ^'^ _ y'-2) 



V ^ ti L fl^ y ^ -^ L fin 2 — - dz 



(x 2 -H 2/ 2 -H Z^)a (X ^ -1- y ' -*- Z^ji (X - H- /y - -H S-)ï 



Afin de simplifier encore, désignons par a la distance commune des centres 



magnétiques à l'origine ; on a alors x''^ + y'^ = x"^ + y"' = = a^ et 



les dénominateurs de tous les termes de nos sommes deviennent [z- -\- a^. Si 

 Tome XXXIV. 2 



