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 fois une formule d'un mémoire précédent, il établit la 

 relation fondamentale 



Fx = Lix -+- T — -4- /2, 

 Ix 



(Ml 



5 14 , / \i\ ^ 



mod T < - (7 H (T^ -H 1 -+- — U'. 



2 5 \ 15/ 



Il en déduit presque immédiatement que fx a pour valeui 

 asymptotique \Jx et, de plus, ce qui est absolument 

 nouveau et complète toutes les recherches antérieures, 

 que la différence entre les deux fonctions ne pourra pas 

 être d'un ordre de grandeur supérieur à celui de la fonc- 

 tion 



Ix 



Par suite, le logarithme intégral est une expression 

 asymptotique de fx plus exacte que toutes ses expressions 

 sous forme finie. 



Le chapitre M traite une question qui se rattache 

 étroitement à la loi de distribution des nombres premiers. 

 Euler a conjecturé, maints géomètres ont en vain essayé 

 de prouver et enfin M. von Mangoldt a établi rigoureuse- 

 ment, l'an dernier, dans un mémoire spécial, que 



k 



lj.{k) étant nul pour k divisible par un carré, 1 pour 

 ^==1, ou k ayant un nombre pair de facteurs, — 1, 

 pour k ayant un nombre impair de facteurs. M. de la 

 Vallée Poussin non seulement prouve à son tour le 



