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 démontre, le premier, que les racines imaginaires de 

 la fonction de Riemann ont toutes leur partie réelle 

 comprise entre zéro et l'unité; il en déduit la démons- 

 tration rigoureuse de diverses lois asymptotiques énon- 

 cées par Slieltjes. Dans la seconde, la troisième (*) et la 

 quatrième partie, présentées à la même Société le 

 U) avril I89G et le 28 janvier 1897, il a étendu ces lois 

 aux nombres premiers représentés par des formes 

 linéaires ou quadratiques, soit de déterminant négatif, 

 soit de déterminant positif. 



Le travail soumis à la Classe et sur lequel nous sommes 

 chargés de faire rapport, M. Deruyls et moi, est la suite 

 naturelle et le couronnement de l'ensemble des recherches 

 dont il vient d'être question. 



Dans la première partie de ce mémoire, M. de la 

 Vallée Poussin trouve une limite supérieure, inférieure 

 à l'unité, de la partie réelle des racines « -i- (3/ de 'C,{s). 

 Bien que la limite supérieure de 1 — a ainsi obtenue soit 

 très petite et tende vers zéro avec ^, elle lui permet, dans 

 la seconde partie, de trouver des expressions approchées 

 pour un grand nombre de séries relatives soit aux racines 

 de ^(s), soit aux nombres premiers, et entîn de démon- 

 trer ce théorème capital : Le logarithme intégral est une 

 expression asymptotique de fx plus exacte que toutes ses 

 expressions possibles sous forme linie. 



Donnons un apeiçu de l'analyse extrêmement com- 

 pliquée qui l'a conduit à ce résultat. 



(*) Un résumé étendu de ces deux parties a été présenté à la même 

 Société, le 29 octobre 1890; un résumé analogue de la quatrième 

 partie, le 28 janvier 1897. 



