( is ) 



Dans le second, M. von Mangoldt établit pour la pre- 

 mière fois avec rigueur l'égalité asymptotique 



fx = L/x, 



et montre que l'on peut aussi écrire, comme relation 

 asymptoti(iue (*), 



Ix 



Les travaux de M. de la Vallée Poussin sur la fonc- 

 tion J^(a) et sur le nombre des nombres premiers ne sont 

 pas moins importants que ceux de MM. Hadamard et 

 von Mangoldt, et pénètrent plus profondément encore 

 dans la nature des lois asymptotiques relatives aux nom- 

 bres premiers. 



Dans sa Démonstration simplifiée du théorème de DiricfUet 

 sur la progression arithmétique, présentée à l'Académie 

 en 1895, il utilise les propriétés de ï^{s), qu'il met sous 

 une forme nouvelle, pour démontrer d'une manière plus 

 directe le célèbre tbéorème de Diricblet, et termine par 

 des propositions sur les valeurs asymptotiques relatives 

 aux nombres premiers. 



Dans la première partie de ses Recherches analytiques 

 sur la théorie des nombres premiers, présentées à la Société 

 scientifique de Bruxelles le 50 janvier 1890 (**), il 



(*) Une note de M. de la Vallée Poussin, insérée à la page 70 

 de ce mémoire de M. von Mangoldt, contient une très courte démons- 

 tration de ce second théorème. 



(") Le rapport de M. Jordan sur ce mémoire a été lu à la séance 

 du 15 avril 1896 et publié en juin, dans le Bulletin de la Société 

 scienti^que, puis dans ses Annales, t. XX, l'^» partie, pp. 91-96. 



