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En 1892, M. Hadamard obtient à l'Institut de France le 

 grand prix des sciences mathématiques pour une Étude 

 sur les propriétés des fonctions entières et en particulier 

 d'une fonction considérée par Riemann (*). Dans la troi- 

 sième partie de ce beau mémoire, il prouva que la fonc- 

 tion i(f) de Riemann, considérée comme fonction de r-, 

 est égale, comme l'avait supposé Riemann, à un produit 

 de facteurs primaires et d'une simple constante, sans 

 aucun facteur exponentiel. 



En 1896 (**), il démontre, quelques mois après M. de 

 la Vallée Poussin, que la partie réelle des racines ima- 

 ginaires de la fonction ^{s) de Riemann ne peut être 

 égale à l'unité et en déduit diverses propriétés asympto- 

 tiques qui n'avaient jamais pu être établies avec rigueur. 



En 1895 et en 1898, M. von Mangoldt a publié sur le 

 sujet qui nous occupe deux mémoires importants (***). 



Dans le premier, il démontre avec une pleine rigueur 

 deux théorèmes énoncés par Riemann, l'un sur le nombre 

 des racines imaginaires de Ç(s) dans lesquelles le coefti- 

 cient 6 de i ne surpasse pas un nombre lixe, l'autre sur 

 la convergence de la partie périodique de la relation 

 fondamentale de Riemann ('^). En particulier, il prouve 

 que (3 surpasse 12. 



(*) Hadamard, Journal de Liouville, 1893, 4e série, t. IX, pp. ITl-'ilo. 



(•') Hadamard, C. R., 22 juin 1896, t. CXXII, pp. 1470-1473 ; BH«e<t?i 

 de la Société mathématique de France, t. XXIV, dernier fascicule, 

 [•p. 199-220. 



(*•*) H. VON Mangoi.dt, Journal de Crelle, t. CXIV, pp. 255-304; 

 t. CXIX, pp. 65-71. 



(") L'auteur signale des recherches antérieures (1884) de A. Piltz, 

 analogues aux siennes, relativement à la seconde partie de son 

 mémoire. 



