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 se compose d'abord d'un terme qui reste fini quand x 

 croît indéfiniment, puis de Lix, entin d'une série d'inté- 

 grales définies périodiques où entrent les racines d'une 

 certaine fonction transcendante ^{l). Cette fonction i(/) 

 s'exprime au moyen d'une autre !^(s), autrefois considérée 

 par Euler, dans le cas d'une variable réelle et définie par 

 la relation 



\ 1 



1 



Dans le produit, il faut remplacer ;) successivement 

 par tous les nombres premiers depuis 2, dans la somme n 

 par tous les nombres entiers. Depuis ce mémoire capital 

 de Riemann, tous les travaux importants des géomètres 

 sur le nombre des nombres premiers roulent sur les |)ro- 

 priétés de cette transcendante (^(s). 



L'un des premiers en date, dû à M. J.-P. Gram, a été 

 publié en danois, avec résumé en français, en 1884, par 

 l'Académie de Copenhague {*). Sans contenir aucun 

 résultat essentiellement nouveau ni important, au dire 

 de l'auteur, il constitue un commentaire utile des travaux 

 de Riemann et dcTchebychef; çà et là aussi, Gram intro- 

 duit des rectifications de détail dans les recherches de ses 

 devanciers, de Riemann notamment. 



Les travaux de MM. Hadamard, von Mangoldt et de la 

 Vallée Poussin, pour ne citer que les principaux, sont, 

 au contraire, le complément naturel de la note de Rie- 

 mann et forment un ensemble de recherches de plus en 

 plus approfondies des propriétés de l^(s). 



(') J.-P. Gram, Recherches sur le nombre des nombres premiers 

 inférieurs à une limite donnée, 6« série, t. II, pp. 183-308. 



