( ^2 ) 



une voie analytique à la formule fx = Lix et a le mérite 

 (le la publier le premier. 



En 1848 et en 1850, Tchebychef présente à l'Acadé- 

 mie (le Saint-Pétersbourg deux mémoires sur les nombres 

 premiers (*), dont les principaux résultats, insérés dans 

 V Algèbre supérieure de Serret, deviennent rapidement 

 classiques. Ils contiennent maints théorèmes qui rendent 

 très plausible l'exactitude de la relation fx = Lix comme 

 loi asymptotique; de plus, Tchebychef enferme fx entre 

 deux limites, mais il termine son travail par cet aveu : 

 « Si l'on calcule, d'après nos formules, la totalité des 

 nombres premiers qui ne surpassent pas une limite don- 

 née, très grande, l'erreur sera inférieure à un dixième de 

 la quantité cherchée (**). » 



Une note courte, mais substantielle, de Riemann, pré- 

 sentée à l'Académie de Berlin (***), ouvre une nouvelle 

 voie aux recherches dans ce domaine. Riemann, par une 

 méthode où, suivant son habitude, il mêle une analyse 

 [)rofonde aux inductions hardies familières à son génie, 

 trouve que la somme 



I . I . 



Far = /x -t- - /(.i ■-) -4- - /(a-^ ) -♦- etc. 

 2. <) 



(') Tchebychef, Mémoires de l'Académie de Saint-Pétersbourg 

 (Pavants étrangers), t. VI (1851), pp. 141-157, t. Vil (1854), pp. 15-23; 

 Journal de Liouville, 1852, t. XVII, pp. 341-365, 3G5-380. 



(**) En 1881, Sylvester (American Journal of Mathematics, IV, 

 pp. 230-247) a signalé un moyen de resserrer les limites indi(iuées 

 dans les recherches générales de Tcliebychef, sans faire avancer la 

 question principale, autant que nous pouvons en juger. 



("*■) Riemann, Berliner hlonatsberichtc, 1860, pp. 671-680; Werke, 

 1876, pp. 136-144; 2'= édition, 1892, pp. 145-153; OE^ym, traduction 

 fran(;aise, 1898, pp. 165-176. 



