6 SUR UNE TRANSFORMATION GÉOMÉTRIQUE 



{. Perpendiculaire à la normale. — Lorsque lit normale mn a t'ait un 

 quart de révolution autour de Taxe OA (fii?. 1), elle vient prendre la posi- 

 tion MN. Soient L, M, N les cosinus qui déterminent cette nom elle droite. 

 A cause des relations évidentes 



/L h- mM -+- «N =0, (13) 



ah -+- pM -+- ?X = 0, (14) 



nous avons 



Mais 

 donc 

 en eïï'et 



M N 



un, 



my — n(3 Ma — ly Ip — rn.ce. 



I x _ ,./ 



n(3 = - [m (mx — lij) — ii (I; — nx)~\ = ' — - — ; 



L M N 1 



x — vl i) ■ — vin z — ■ vu k 

 k" = (x — vif + (y — vmf -+- (: — vu)'-. 



(15) 



«j. Théorème. — Les normales aux .surfaces s, S, en deux points cor- 

 respondants m, M, sont contenues dans le plan des rayons vecteurs Om, OM. 

 De plus, chacune d'elles est perpendiculaire à l'autre. Enfin . ces deux droites 

 sont également distantes du pôle (*). 



Pour établir cette proposition fondamentale, il suffit de vérifier que la 



droite MN, considérée tout à l'heure, est normale, en M, à la surface S, ou 



«pie Ton a, identiquement, 



LdX h- MdY -t- NdZ = 0. (IG) 



Or. 



k ^ LdX = ^ (x - vl) dX = d [2(x - vl) Xj -%Xd(x - vl) ("). 

 De plus, à cause des relations (2), (3), (4), (6), (8) et (41) : 



J(x-vl)X = -v^lX = vk, 

 ^Xd (x — ci) =- ^ («as — /«-) (r/.r — w« - W«) = -(va<i,i — ïv-ilr + irilr) = d{vk); 



(") La troisième propriété résulte des deux premières. 



(**) Suivant l'usage, la lettre i: désigne une somme de quantités qui se déduisent les unes 

 des autres par une permutation tournante. 



