ET SUR LA SURFACE DES ONDES. 



Il 



Or, si Ton joint le point m à l'extrémité a du diamètre Oc«, par la 

 corde ma; que Ton élève af perpendiculaire au plan du cercle; que Ton 

 prolonge cette droite jusqu'à sa rencontre, en f, avec Oe; et qu'enfin l'on 

 mène la droite mf, cette ligne, d'après un théorème connu, est perpendicu- 

 laire à Om. Ainsi, le rayon vecteur OM, égal à Om, est parallèle à fin. El 

 comme le lieu des droites mf est le cône qui a pour sommet /' et pour hase 

 la circonférence donnée, il s'ensuit que la ligne L, correspondant à I sur le 

 tore S, est l'intersection de ce tore arec un cône du second degré, égal à 

 celui dont il vient d'être question. 



De plus, la cyclotomiqûe 2 à directrice circulaire, conjuguée de la cir- 

 conférence 1, est le lieu de l'intersection d'un tore et d'un cône du second 

 degré, variables. 



18. Si l'on rapporte ces deux surfaces à trois axes rectangulaires passant 

 par le pôle, on trouve aisément qu'elles peuvent être représentées par 



(X 2 ■+- Y 2 -+- zy = 4 [(AX - a'Lf -+- (a* -t- A s ) Y 2 ], h (X- -t- Y 2 ) = oXZ : 



a est le rayon Oc, h représente l'ordonnée ce du centre de la sphère. L'éli- 

 mination de h conduit à l'équation 



(X 2 -t- Y' + Z s ) ( X 2 h- Y 2 ) = 4« 2 Y 2 , (17) 



laquelle représente la cyclotomiqûe 2 (*). 



19. Remarque. — Quand la ligne / est une 

 circonférence dont l'axe passe au pôle , le 

 Théorème ci-dessus (4 G) est en défaut: quelle 

 que soil la sphère s, la transi* innée de /, sur 

 le tore conjugué S, se compose du système 

 de deux circonférences fixes BA, B,A, (fig. 8) 

 que l'on obtient en menant, dans le plan mé- 

 ridien IA)c , les droites OB , OB, égales et 

 perpendiculaires à Oô, et en faisant tourner 

 BB, autour de Oc. Quant à la cyclotomiqûe 2, 

 conjuguée de la circonférence donnée, elle se 



Fi*. 8. 



(') Mélanges mathématiques , p. 175. 



