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SLR UNE TRANSFORMATION GÉOMÉTRIQUE 



puis 



X = — a tg j. tg sin a, Y = 



On conclu! de ces équations , par l'élimination de a 



x- ■+ y* — V ig s e = - <r tg ! o, 

 X 8 -+- Y» -t- XZ Ig 6 = 0. 



(5a) 

 (56) 



Ainsi qu'on pouvait .s 1 ) attendre, l'équation (3o) représente l'hyperbo- 

 loïde à deux nappes, conjugué de l'hyperboloïde gauche donné. Quant à 

 l'équation (36), elle appartient à un cône ayant pour traces, sur le plan 

 principal Zx, les droites OZ, OR, perpendiculaires à ()/, 06'. De plus, les 

 sections circulaires de ce cône sont déterminées par des plans respectivement 

 perpendiculaires aux génératrices principales OZ, OR. 



il. Remarque. — Le conoïde droit, lieu des normales à l'hyperboloïde 

 gauche, a pour axe la génératrice g; et, pour seconde directrice, l'axe des 

 deiw hyperboloïdes. De plus, le pôle O est situé sur la commune perpen- 

 diculaire à ces deux droites. Donc 



Etant donne un conoïde droit, du second degré; si l'on prend pour pôle le 

 point où la seconde directrice d' rencontre la commune perpendiculaire aux 

 deux directrices d, d' ; la transformée de la première directrice d est l'intersec- 

 tion d'un hyperboloïde de révolution, à deux nappes, avec un cône du second 

 degré, ayant son sommet au pôle : l'axe de l'hyperboloïde est d', et les plans 

 des sections circulaires du cône sont perpendiculaires, respect/renient , à d 

 et à d'. 



III. — Points singuliers et lignes singulières. 



42. 



Transformées de normales parallèles 



Pig. 17. 



- Si, en divers point /// . 

 m', ... (fig. 17) de la surface s, les normales 

 mn, m'n' , ... sont parallèles, les plans Omn, 

 Om'n' , ... se coupent suivant une droite OA, 

 parallèle à toutes ces normales. Conséquemment , 

 les normales MN, M'N', ... transformées des pre- 

 mières, rencontrent orthogonalement OA. Autre- 

 ment dit, à des plans tangents parallèles, corres- 

 pondent des plans tangents, parallèles à une même 

 droite. 



