32 SUR UÎNE TRANSFORMATION GEOMETRIQUE 



podaire S,, est la médiane PC du triangle OPM. Ces normales, situées dans le 

 plan /vOI*, étant perpendiculaires entre elles, il s'ensuit que les podaires s,, 

 S, satisfont à la définition des surfaces conjuguées (6). 



58. Applications. — 1" On sait que la podaire d'un ellipsoïde, le pôle 

 étant au centre, est la surface d'élasticité (*). Par conséquent, la podaire de 

 la surface (les ondes est conjuguée de la surface d'élasticité. 



2" La podaire d'une sur face développable s est, évidemment, une certaine 

 ligne I. D'ailleurs, la conjuguée S de s est l'enveloppe d'un cylindre de révo- 

 lution, cl la conjuguée de / est une surface cyclique 2. Conséqueinincnl 



La podaire S, d'une surface S, enveloppe d'an cylindre de révolution dont 

 l'axe passe constamment par le pôle , est une surface cyclique (**). 



3° La podaire d'à ne surface gauche s est le lien s, d'une circonférence c . 

 podaire des plans menés par une génératrice quelconque g. Cette circonfé- 

 rence, contenue dans le plan perpendiculaire à g , mené par le pôle, a pour 

 diamètre la perpendiculaire abaissée du pôle sur la génératrice. 



59. Podaire d'un hyperboloïde. — Considérons le cas très-simple où la 

 surface s serait un hyperboloïde de révolution. La perpendiculaire abaissée 

 du centre sur une génératrice quelconque g est un rayon a du cercle de gorge. 

 Par conséquent, si Ton conçoit une circonférence c décrite sur a comme 

 diamètre, dans le plan perpendiculaire à g , et que Ton fasse tourner c autour 

 de l'axe de l'hyperboloïde s, la surface s,, ainsi engendrée, est la podaire de .s-. 

 Celte surface s t a pour section méridienne la podaire de l'hyperbole méri- 

 dienne. En outre, d'après le théorème ci-dessus (57), cette même surface 

 podaire .y, est conjuguée d'une surface de révolution S, , podaire de l'hyperbo- 

 loïde à deux nappes, S, conjugué de * (41). Enfin, de même que les sections 

 méridiennes des deux hyperboloïdes sont égales (10), les sections méri- 

 diennes des deux surfaces podaires le sont aussi. 



00. Podaires successives. — Si l'on projette le pôle sur les médianes 

 Oc, OC (fig. 2-i), les points c, R, ainsi déterminés, appartiennent à 



(*) Voir plus loin. 



(*') Il est bon d'observer que : 1° « chaque position du cylindre C, correspond un plan p, 

 tangent à la surface s; 2° au moyen de la cyclique s, on peut facilement construire la conju- 

 guée I, et , pur suite , la surface développable s, conjuguée de S. 



