58 SUR UNE TRANSFORMATION GEOMETRIQUE 



Ainsi, on avant égard au dernier théorème (I 11), on peut dire que: 



Si un cône coupe la surface des ondes, S, suivant une courbe sphérique, 

 le cône supplémentaire coupe l'ellipsoïde s suivant une courbe sphérique: 

 ou, ce qui est équivalent : 



La surface des ondes est le lieu des coniques sphérique» supplémentaires 

 des coniques spftériqucs tracées sur la surface de l'ellipsoïde (*). 



1 1 3. Points conjugués. — La surface des ondes jouit d'une propriété bien 

 remarquable.: elle est sa propre polaire réciproque, relativement à l'ellip- 

 soïde o représenté par 



r if z- 



£-+£+- = 1. (9b) 



oc ca au 



Si, d'un point M île la surface S, dont les coordonnées sont X, Y, Z, on 

 mène des plans tangents à l'ellipsoïde, le plan P de la courbe de contact a 

 pour équation 



XX' YY ZZ' 



— -y- H = I. (01.) 



bc eu <tb 



Quand le point M parcourt S, le plan P enveloppe une surface S'; à chaque 

 point M, correspond un point M' de S' : M et M' sont dits conjugués (**). Il 

 s'agit de trouver les valeurs des coordonnées X', Y', Z' de M', et de vérifier 

 ensuite que ces valeurs satisfont à l'équation de S (***). 



En partant de l'équation (96), jointe à 



a'\ 2 b'V e'V 



■ -♦- ■ +. =0, (s) 



k" ! — u' u — b L m* — c 



et en effectuant le calcul ordinaire (78), on trouve d'abord 



y x ' = r a * . v "' x ' 2 "I x 



" bc La 2 — ir + * (u* — tcf] ' ' 



et deux autres équations de même forme. Or 



y aX =-; 62 



^ (a 1 - u y k* 



(*) Durrande, Nouvelles Annales de mathématiques, t. XXII, p. 200. Le théorème que nous 

 venons de démontrer par le calcul est, ilu reste, une conséquence évidente de la propriété des 

 cônes supplémentaires (25, 4°). 



("*) Le mot conjugué n'a plus, on le voit, la signification que nous lui avons attribuée jus- 

 qu'à présent. 11 en est de même des notations. 



(***) Cette marche, moins naturelle que celle qu'a suivie M. Lamé, me parait, cependant, plus 

 simple que celle-ci. 



