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que les formules auxquelles ils sont arrivés présentent l'extension naturelle 

 de celle do Lagrange au cas de plusieurs variables. 



M. Darboux , dans un mémoire qui a pain par extrait aux Comptes rendus 

 tic l'Académie des sciences (t. LXVIII, p. 134), a montré que cette exten- 

 sion s'obtient d'une manière bien plus élégante en introduisant en facteur, 

 dans la fonction à développer, un déterminant fonctionnel, dont la présence, 

 permet aux dérivées partielles du produit de satisfaire à une équation ana- 

 logue à (H), et tout aussi simple. 



Cette belle propriété des déterminants fonctionnels dépend elle-même 

 d'autres propriétés plus générales, que 31. Darboux n'a point traitées, et qui 

 eussent d'ailleurs été sans utilité pour l'objet spécial qu'il avait en vue. Cepen- 

 dant ces propriétés, auxquelles j'étais arrivé de mon côté, sans connaître le 

 travail de cet habile géomètre, méritent d'être étudiées pour elles-mêmes et 

 indépendamment de leur application au développement des fonctions, d'au- 

 tant plus qu'elles renferment comme cas particuliers, non-seulement la for- 

 mule découverte par 31. Darboux , mais aussi la solution générale du problème 

 tel que Laplace Pavait considéré. 



Nous aurons besoin, dans ce qui va suivre, d'une notation simple et 

 expressive pour représenter les déterminants fonctionnels, et parmi celles 

 qui ont été proposées par les géomètres, la suivante nous a paru mériter la 

 préférence : nous désignons par D (— t- 2 '-"--'") le déterminant du système 

 desn fonctions /',, /[,,.. /'„ par rapport aux n variables x t , x. 2 ,... x„ dont elles 

 dépendent; en sorte que Ton a 



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2. Abordant tout de suite la question générale, considérons 2» variables 

 indépendantes, 



X„ X„ ... X„; et,, a,, 



