DES DÉTERMINANTS FONCTIONNELS. 3 



soient u,, u 2) ... u n n fonctions implicites de ces 2/j variables; ?,, y âJ ... y„ des 

 fonctions explicites de u,, u,,... a„; et admettons que les variables n satis- 

 fassent tontes aux relations comprises dans ce type général : 



di, '' il/, 



II résulte immédiatement de là (pie, si f(u n il,,... h„) est une fonction 

 quelconque des variables u , l'on aura 



r//' df du, df du„ idfdu, dj ' <!«„ 



dx, diiidxj du,, dx t \du,da i du,, da 



OU 



(1) 



Désignons actuellement par /',,/!,,... f„, n fonctions quelconques des mêmes 

 variables w l3 u. 2 ,.. u n , et considérons les déterminants fonctionnels 



Jô\v JûiA), D (W] tiiiD y.,w.\ r)i 



\'j-,l da, \a,,aj \a„ '/*, a-J W|, </.,,..'/„! 



Ce sont les dérivées partielles de ces déterminants par rapport aux variables x t 

 que nous allons considérer d'abord, pour chercher à les exprimer en fonction 

 de dérivées partielles prises par rapport aux seules variables «,, « iv .. <*„. 

 En vertu de l'équation (1), l'on a 



d df, d df, <l I df\\ d I df\ df d ?l df d- r , 

 dx, da, (l'/.,dx, da t \ 'd'y,) dt>i \ ' d<x,j (la, (la, dut da, 



d'où 



m '«'u^-niLi* 



CtX, da, M«i\ (la,/ \ J i- a, 



Soit en second lieu, le déterminant 



l} lf„ f t \ _df, df t df df, 



\a l ,a i l (la, (la, (ta* (ta, 



(*) Il est bien entendu que, dans le troisième de ces déterminants par exemple, /i,/ a , /- 

 désignent trois quelconques des fonctions /', , f, ... f n , et a, , o.n a : „ Irois quelconques des varia- 

 bles k,, a,,.. a„. 



