DES DÉTERMINANTS FONCTIONNELS. 



et en observant que la somme des quatre derniers termes se réduit au déter- 

 minant — D [ i"'-' u '' r , \ on obtiendra la formule 



(*) 



dx, \*|, as, aj/ da.i\_ \a,,a2,a 3 /J \^,a ti a z ,a,j 



La loi de formation des dérivées se montre déjà d'une manière évidente, et 

 il n'y a aucune difficulté, en continuant la même démonstration, à la généra- 

 liser et à établir l'équation suivante : 



(5). . . 



d I fi, f*, ■ ■ ■ fr \ _d_ ^ / /,,/:,, ■■■/ t A ~j d / /m A, •■•/j t >-r . 



dXi \x l ,a t ,...a lt ) (/'/, ' \-/,,a 2 , ... a,,/ J \x l ,a i ,...ap,a t 



Cette formule peut elle-même être généralisée, car, si l'on multiplie le 

 déterminant par une fonction U des variables u t) a,,... u„, les équations (4) 

 et (5) donnent 



d .„(ê^=&)-]_j' 



\a l ,a i ,...a /A /J [ dx. 



?.D 





_ D y../-..-^f)) u+ ^. D (/-'^-/î' 



\j:„ a,,... «H, ai/ ) (/z é \«, , a,, ...'/„ 



ou bien 



(6 ). .-iU.pp-MLJ ,. D . D (/w^n_ D . D ( /^.-^» 



C'est-à-dire que ïéquation (o) rae cesse pas d'être vraie, lorsque l'on rem- 

 place chacun des déterminants fonctionnels qui y entrent, par son produit 



par un facteur 



U = /'(«,, u t ,.., u n ); 



en d'autres termes, elle subsiste lorsque l'on remplace symboliquement I) 

 par UD. Cette extension du théorème va nous être fort utile. 



Remarquons aussi que si l'indice i est compris dans la série 1 , 2,.. «, le 

 dernier terme de l'équation (6) est un déterminant dans lequel deux colonnes 

 sont identiques, et qui est conséquemment nul. L'équation se réduit à la 

 forme simple 



j-fp.p (/•" «■ -• ft)1 * L.nVk&=&)1 ■ 



dx, |_ \a, , a 2 , .. « J | da, [_ \*i ' a <> " K f' J 



