SUR UNE PROPRIÉTÉ 



4. A l'aide des équations (5) et (G), la transformation des dérivées suc- 

 cessives du déterminant fonctionnel par rapport à x h en dérivées par rapport 

 à «,-, n'offre plus aucune difficulté. On a d'abord 



Il i) (f "^~t'A = ± AL „ {f**r*,~U 



dx* \'/-i ,a s , .. a.y.1 lia, dx,\J \'/|, «», .. « u 







.M) 





2 — 



~ d'y.. 





Différentiant de nouveau par rapport à a?,-, el appliquant toujours la I 

 mule (()), on trouvera de même 



or 



dx] Ui, «j, ..iZu 





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/•.,/;,»/> 





\'/-,. a s ,.. </„ 



cl, en généralisant sans difficulté par la méthode ordinaire, 



(/xf \'/,,a-;...'/ t ,. 





-ri) 



y; •/;••■/-- 



',,-/,, ..«» 



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r/"- 



dïr 



\y,. 7.,...a. /; ^/J 



dette relation peut s'écrire plus élégamment 





.'U 





a, . ? s , .. au., a. 



On voit d'ailleurs sans peine que si, au lieu de partir de l'équation (o), 

 on était parti de l'équation (6), les calculs auraient été tout à fait semblables, 

 sauf que D serait partout remplacé symboliquement par l D; l'équation (7) 

 subsistera donc si l'on multiplie tous les déterminants fonctionnels qu'elle 

 renferme par U, U étant une fonction quelconque de n,, u.,,... u„; ainsi l'on 



aura 







in 



a,,aj, ..<z„. a, 



S. Considérons maintenant les dérivées partielles successives par rapport 

 à plusieurs variables x i} x k , x ly .. L'équation (7) nous donne d'abord, q étant 

 un nombre entier quelconque, 



*** „(/".. A. •• l'A Bm jtl{±± 



,/;./,../;,, 



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