DES DÉTERMINANTS FONCTIONNELS. 



développons le second membre au moyen des formules (7) et (8), il 

 viendra 



('•») 



D 



* ' D / a, /;,-/;« 



dxfdxl U|,«j, .. au 



/M /21 •• /u. i p2 



rfW 



//-' 



<fcr'd*r.' ( <M», 



tf?ïP 



A- A.» A* 



'/, , a,, ..«, 



JE|, y.,, .. ay. , a, 



d r.iD( /r " f,, "^" rf 



/;./■.,.. /a.- r r,vï 



«,,a.,, ..au, -/,. ., 



En diflférentiant encore les deux membres de cette équation r l'ois par 

 rapport à une troisième variable x l} et en continuant à appliquer les for- 

 mules (7) et (8), on trouvera pareillement 



d" H+ ' D (f A ,f*,..h 



,/,-Hl-, 



\a,,aj, .. «jt/J 



<lx':<hl(lx; \a„ v,,..v. u / d>j.';-'<lvr'tlv;-' i da,da t dx, 



-i-dÊr r^p(^M^)] + 2^rrfp( / '" 7,, -- /i " rf ' rf )i 



««i'K [_ " ''- ' ■■ ' / '" ' a '' J ■ L * a < ' *»' •• a . u ' a < ' "'' I 



/l; A; •• ///) r''» rL W | / 

 oc,, a s , .. '/,,., '/, , '/,,, a. 



(10) 



la première sommation se rapportant au changement de /, /,-, /. p, q . >•, 

 d'abord en /. /. h. p, r, q; puis en k, I, i, q, r. p; la seconde, au 

 changement de /', /.', /. j>, q, r, d'abord en /. /, /, q , p, r; puis en 

 /, i, k, r, y>, 7. 



La loi de formation se montre d'une manière évidente, et il n'j aurait 

 aucune difficulté à la formuler d'une manière générale. 



Remarques. — 1" II est clair que si l'un des indices i, /•, /, fait partie 

 de la série \, 2,... p, tous les déterminants fonctionnels où cet indice figure 

 s'évanouiront, comme avant deux lignes égales, et l'équation (1 0) se simpli- 

 fiera. Si les trois indices i, k, / sont dans ce cas, tous les termes du second 

 membre de l'équation (10) seront nuls, sauf le premier, et l'on aura sim- 

 plement 



\«|, Oj, ..'J.y.l J 





dx p t dxldx\ 



d^daîda.', 



cette circonstance se présente nécessairement lorsque «/=//. 



2° On voit encore que, si l'on eût traité l'équation (8) au lieu de l'équa- 

 tion (7), les calculs eussent été les mêmes, sauf que tous les déterminants 

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