DES DÉTERMINANTS FONCTIONNELS. 



Ces formules se simplifient lorsque l'une dvs variables #„ x k , x, esl com- 

 prise dans la suite x i} x. 2} ... ,/\ L ; si elles j sont toutes comprises, comme cela 

 ; , |ieu si p=n, les seconds membres se réduisent à leurs premiers termes. 



Par exemple, la troisième équation devient 



<'" + ' +r „//".*/;■ 



(Is';ilx'j.dx\ 



u 



.l'i. Xi, ..x« 







Si l'on suppose ,u = >*=2, /= 1 , /=2, dans l'équation (13), et si l'on 

 rétablit partout le l'acteur F, l'on a 



dxMxî 



VA) 





tlv'ld'A 



tf +l .*î 4 -'. U.D 



/;•/; 



ce qui re\ ient au théorème donné par M. Darboux dans la note des Comptes 

 rendus que j'ai citée plus haut. 



7. Il nous reste à l'aire voir que les formules précédentes renferment, 

 d'une manière immédiate, la solution du problème de Laplace, problème 

 qui consiste à exprimer les dérivées partielles successives d'une fonction 

 F (ti„ h,,... u„) par rapport aux variables x it x k , x,,..., en fonction d'autres 

 dérivées partielles qui se rapportent exclusivement aux variables «,-, a k , «„..., 

 afin que l'on puisse, dans ces dérivées, faire x,, x k , x,,... nuls avant les dif- 

 férentiations, ce qui constitue, comme on sait, le grand avantage du théo- 

 rème de Lagrange. L'on admet d'ailleurs que les variables »,, h,, .. a n satis- 

 fassent aux n équations : 



et conséquemment, que l'équation (1) ait lieu. 



Cela posé, faisons d'abord, dans les formules (12), (13), (14), ? égal à 

 l'unité, ce qui réduit le déterminant D f ^V'?J ù D (è) = '£,' et le produ,t 

 <ffa ... ijy à ?l . Remplaçons ensuite, dans ces formules, p par p — I , la (onc- 

 tion quelconque /', par F, et faisons /= 1, k = 2, / = 3, en observanl d'ail- 

 leurs que les déterminants fonctionnels où entre « ; vont devenir nuls par là. 

 Les formules (12), (13), (U) donnent, par ces substitutions, 



