iO KEWAUQLES SUR LA THEORIE 



13. D'après les équations (i), (2), la valeur de Q, ordonnée par rapport 

 à x^ est 



(au) x"- + 2 [{ah) y -+- («c) z -+- [ad] u -+- («e) c + {«/)] x -y-'S [by -*- cz -i- du -h er -t- ff. 



Multipliant par {(ta), et ayant égard à la première des équations (25), on 

 trouve 



[au) a = (aa) S [by -h « -+- du -+- tu + /■]* — [(06) ^ + (ac) z h- (a(/) « + («e) r -t- a/]". (26) 



Supposons le second membre ordonné suivant les carrés et les doubles 

 produits des inconnues y, ;:;, u,... : 

 Le coellicient de /y- est 



{aa) (66) - («6)' = ^ {ab' - bar = {'J'j) > 



le coefficient de 2_ys est 



(«(/) (6c) — [ab) [ac) = ^ ("'»' — ba) (ac' — m') = ((//i) ; 



etc. 



Ainsi, la relation (20) devient 



(«„)" = 2 Wj) y" -^ 2 (gh) yz + (hh) r' -+-... H- 2 ijk- ) V -*- (M)] . 



ou 



(aa) li = \ [ijy ■+- liz ■+- lit -+- jr -+- /vT (27) 



i -i. Remarque. Des formules (20), (27), on conclut l'identité 



("") 2 t^'-v + c~ -+- ''« + fij + /]' = I .gjjj 



[(«6j y -t- (uc) 2 + (ad) u ■+- (ae.) v -t- («/')]'-<- ^ [ffi!/ "^ '*' "^ *" + i" "+" ^'T'' ) 



applicable à l'Algèbre et à la Tbéorie des nombres. Elle permet, par exemple, 

 (le décomposer le produit d'une somme de N carrés par une somme de N 

 carrés, en une somme de 1 + ^'''.~ " carrés; de décomposer (a somme des 

 carrés de N- polynômes entiers, en 1 + '^'^~^^ carrés de poliptônies 

 entiers; etc. 



