98 REMARQUES SUR LA THEORIE 



Dans A, le coeincicnt de «i^/v, ^'st 



Ce flélerminant multiplie, non-seiilemenl (ij)./--,, mais enoorc : — l'iU/'s, 

 + ""/'A 5 *^tc. Une partie de A est donc 



</('/ (cp,, cp,, 93) X '/(=( (■!,, 'l-i, ■j'o, '-Pt) (')■ 



Le coetlicienl de aJ)Â\, dans A, est 



- '/5<V«</7 + •■• = - f/e< {■]^. , 4-,, i>„, ^,). 



En elïet, le terme afiJôf^'finfoyi ''o't ''voii* le signe — . Ce coeHicient 

 multiplie 



(iihiCi — biUiCi -t- ■■• = det (9,, (fo, 94). 



(*) Celle [iropoMlion, ;i |ieu près cvideiilo, le devient loiit ;i l'ait au moyen des reninrc|ucs 

 suivantes : 



■1" Si l'on fait uhslriiclioii des signes, lu parliv I' de A, qui eunlieni les lelties», b,c, 

 ujfeclécs des indices \ ,î> ,7> , cl les lellres i.\,c,(,g, affecléesdes indices 4, 5, 6,7, eslé<jule au 

 produit du pobjnùnie dct (.,, '.c,, ^^),por le polijiiùine dcl (^4, f^, ^y, '^7), les termes de ces polij- 

 7t6nies étant rendus positifs. 



Eli effet, un ternie de P, tel que ''i"2f3«4fl'A/7> est dceoniposaiilc en l),a.f- X ('',<h'kfi ' "^'i 

 réeiproquement, le produit de deux termes CtliM-, f^d^Cf^g-, jiris dans les polynômes dont il 

 s'agit, est un terme de P. 



2" Soient », r, i" les nombres rcs|iectifs d'inversions alpliabéliques, dans l>iu.,r-, e,/j-jljT, 



l>i"i''-c«i9ofUf7 ■ je dis que i" = ( -t- i'. 



Quand on écrit, à la suite de ft,«2''3, 'es lettres e,^cj-^dj-j, le nombre des inversions, d'abord 

 égal à )', devient, succcssivcincnl : i, i, i + "2 (à cause des deux inversions ed, gd), « -+- â = « -t- *' 

 (à cause de l'inversion gf). 



3" Si l'on a égard aux signes , 



P = dél{ 'r,, f,, ?:,) X clH ('^, '^5, ^5, ;•,). 



Les signes des éléments 



sont, respectivement, ceux des quantités 



(-1)'", (-1)', {-')'■; 



donc , par ce qui précède, 

 etc. 



