SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 51 



Au reste, ces identités dérivent des relations, au nombre de quinze, qui 

 lient les quantités «, [5, y, et qui ont la forme 



a,-h p, + rt = 0, «j -t- (3j -1- ra = , etc. 



Il est facile d'écrire les autres. 



Nous ne nous arrêterons pas à faire voir qu'elles se réduisent, en réalité, 

 à dix relations linéaires. 



Par une méthode dont nous ferons encore usage plus bas, on en peut 

 déduire les valeurs /3,, /S^, ..., j3^; y,, y.,, ••-r/oi c'i fonction de «,, a,, «j, a^, «^. 



Ou trouve ainsi : 



2Pi = — a, «5 -+- «5 «4 + «j, 



SjSj = — a, — «o — «3 -H «j + «5 , 



9ft. = 



«8 



(31) 



Sp, = — a, -t- aj H- «3 — «4 — «5, 

 SPs ^ a, -t- «2 — aj — «4 — «5, 

 Sy, = — a, -+- «2 — cj -t- «* — «5. 



2^2= a, a2 -t- «3 — «4 — «3, 



2r3 = «1 -t- «2 «3 — «t + «5 > 



2r«= «1 — «2 — «3 — «t + «S» 



2^5 = «, a2 -♦- «3 -t- «4 «5. 



Il nous reste à chercher la liaison qui existe entre les « ; pour cela , 

 transformons les variables de la sextique, par une substitution unimodulaire, 

 et telles qu'aux valeurs a;,, x.,, correspondent les valeurs ce, 0. 



Les quantités «,, a^, «j, «j, a^, n'auront pas varié par la substitution el 

 nous sommes conduits aux équations : 



ttj X3X4 *^3^fl »ï^4'^5 *^ ^83^6= «1 , 



h) — X4X5 -»- X4X6 = «2 . 



c) — X4X5 -♦- XjXs = «3 , ) (52) 



d) — XjXe + X4X6 = ai. 



Cj ■ X3X5 -t- X3X4 = «5 



La combinaison de b) et lï), donne 



(X4X,)*— (a, + a4)X4X6 -+- «ja4==X3X5.X4X6 (33) 



