SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 33 



pant , on voit que cette identité devient : 



a\ -h a' -t- a| + aj -+- «5 — a]{«^ -H a, -(- «4 -(- a,) — «'(a, -t- «j -+- «j -*- a,) 

 — a|(a| -4- «j -t- a, -+- aj) — aj(a, -t- «j -V- aj -t- «5) — i4{ai H- lXj -+- a, -4- «,) 



OU encore 



22a' — la'Ia H- 22a.«îa3 = (38) 



Les relations (31) et (38) permettent, comme Ton voit, de ramener les 

 quinze fonctions «, i3, y, à quatre d'entre elles, et les deux cent dix rapports 

 anharmoniques aux trois rapports 



<*-i «< "i 



Il est visible que toute fonction symétrique, 0, de ces quantités «, /9, y, 

 reste invariable par les substitutions, opérées sur les racines de la sextique, 

 qui laissent invariable la racine carrée du discriminant de celte forme. 



Nous savons donc, par un théorème de Lagrange, que ces fonctions pour- 

 ront s'exprimer rationnellement au moyen des coefficients de la sextique, en 

 s'adjoignant la racine carrée du discriminant (*). 



En conséquence; si A représente le discriminant de al, les quantités «, /S, y 

 seront racines d'une équation qui peut s'écrire : 



z" -4- a,r" -+- 0.:" -4- a, V^z'" -4- a,z' -+-■•• ■+- o,» l/â = 0. . . . (59) 



Nous pourrions, en nous fondant sur les propriétés des racines de celte 

 équation, en calculer les coefiicients. 



En efTet, si l'on remplace les variables x, y, de la sextique, par des 

 variables nouvelles X, Y, liées aux premières par les relations 



X = »iX -f- hY, 

 y = m'X ■+■ w'y, 



(*) Laghange, OKuvrcs, t. III , p. 574. V. aussi C. Jordan, Traité des substilutions , p. 263. 

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