ET SUR QUELQUES INTÉGRALES DÉFINIES. 17 



23. Expressions de P^. Des deux dernières relations, on déduit, par la 

 méthode connue : 



P„ 2 /"^ — e-"'? -+-(!-+- x)cos(sinç) — ^e"=? , ,_„, 



-2 /"^ sin(siiicp) , ,,^, 



" - = j/„ = -r(w -)- I) / ; sinpcprfffl. . (-iO 



Ainsi, en particulier, la série 



f -+- 2''x -+- ô'x'- H- • • • + n'x"-' -+•••■ 



est exprimée par une intégrale définie. Ce résultat nous servira plus loin. 

 24. Remarques. — 1. La comparaison des deux expressions de P^ donne 



/'^—e~'"'?+{\ -\-x)cos{sm(p) — xe'°'? , , , /''^ sin(sin9)sinp(prf(p 

 cos»q5fto= 1 — X) / : — ^ — ;:.(4I 

 e-"^?_2xcos(sin'i)-+-xV"''' '^ J e-">=?— 2xcos(sin(p)+xV'"? 

 \ T / Q 



II. Quand x égale zéro, y^, se réduit à 1 ; donc 



/c"'ï'sin(sin(p')sinfl<p(/(p = (4:2) 

 V Y/ /T Y -2r(p-h I) ^ 



III. Par suite, la formule (39) devient 

 ou, plus simplement, 



e'°"?cos(sincp)cosp(p(/!f = ^^ — (43) 



IV. Si Pou remplace y par k — (^, on déduit, des deux dernières égalités : 



y (e™f H- e~'°'?)sin(sin(p)sin/)yrf(p = — — , [f im.'pair) . . . . (44) 



y {e'°"f -h e-'"f)cos(s\n<f)cospfd<f = - -, {p pair) (43) 



Tome XLIIL 3 



