18 SUR UNE SUITE DE POLYNOMES ENTIERS 



V. Si, dans la formule (^■0), on substitue j^ à x, elle se transforme 

 en 



2 /^~ sin(sincp)sinpcp(/cp 



Et comme 



.y, = T,(l+«f (12) 



on a 



T =_r(jj-+- 1) / ^^ — --^ -, — r ■ • • • 46 



ip „ ' *'' V (I -t- OV'"'? - - 2( (I -^ t) cos (sin (p) + «V»'!' ^ ' 



VI. Cette relation se simplifie dans deux cas particuliers : 

 1° Lorsque / = 1 , 



sin (sin9)sinp(pf/(p 



2 Z'' sin (si 



, = -T{p-h\) I — 



cos (sin <p) -t- e'"'' 



. . (47) 



le premier membre est alors un nombre entier ; 



2» Si < = — 1 , T,= (— 4)''-' (**). Donc 



f e""'?sin(sin(p)sinp<p(/cp = zb -(*"*) f-^^) 



i V y; /-T Y 2r(/} -+- 1) 



VIL Enfin, si p csl pair, il résulte, des formules (42) et (48) : 



f (e"'? -t- e-'°''')sin(sin(p)sinp9f/(p = 0; (49) 



' 



résultat visible. 



25. Autre intégrale définie. On a, par une formule connue, 



sin (sin©) ■^7' ., . , r • \ 



^ 1^ = > x"e"""^sm(n -+- I smœ). 



I — 2ïe""i'cos(sin(p)-t- xV""? ■^o 



(■) Il est remarqunl)lc que celte inlégriilo se réduise a un polynôme entier. 

 {") Cette propriélé, presque évidente, sera démontrée plus loin. 

 (***) -H si p est impair. 



