ET SUR QUELQUES IINTÉGRALES DÉFINIES. 19 



Donc, si Ton développe, suivant les puissances de x, le second membre 

 de Téqualion 



V„ = -r(w-+-l) / ^ i^ -— — sinnmrfç, . . . (40) 



le coefficient de a;"' sera 



-r(jj -4- 1) / e"'°'''sin(nsin(p)sin»(p(/cp. 



Dans le premier membre, ce coefficient est if. Conséquemment, 



n''=-r(p -1- l)y e""''''sin(«sin(p)sinp(prf(pC) (30) 



V 



SOMMES DES PUISSANCES SEMBLABLES DES NOMBRES NATURELS. 



26. Première expression de S^. D'après les relations (1), (2) et la pro- 

 priété démontrée (7) : 



[I + a^x -+- h^x" -4- cX +•••-+- Cpï"-* -H tpX''-' H- OpX"-* h- x'"-'] X 

 [l -+- Cp+,,,x -y- Cp+a,2X* ■+.-.. -V- Cp+„_,,„_,x" '-+-•■•]. 



Si Ton effectue le produit, et que Ton identifie avec le premier membre, 

 on trouve 



w*" = Cp+„ _,,,,-+- OpCp+„^j,p-+- ftpC,+„_3,,, -t- •••-+- C„,p (") (51) 



(*) Après avoir trouvé cette formule, j'ai reconnu qu'elle a été donnée par Poisson, dans son 

 célèbre Mémoire sur les intégrales définies (Journal de l'École polytechnique, XIX' Cahier, 

 p. 493). 



('*) Cette égalité suppose n ^ p. Dans le cas contraire, le dernier terme est celui qui con- 

 tient Cp,p= 1. 



